高考理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)資料-wenkub
2022-08-31 14:47:29 本頁面
【正文】 ′(m)=2e2m3＞ 0. ? 所以 g(m)在 (1， +∞)上為增函數(shù)， ? 從而 g(m)＞ g(1)=e23＞ 0，即 f(e2mm)＞ 0. ? 所以 f(emm)f(1m)＜ 0， f(e2mm)f(1m)＜ 0. ? 因為 f(x)為連續(xù)函數(shù)，所以存在 ? x1∈ (emm， 1m)， x2∈ (1m， e2mm)， ? 使 f(x1)=0， f(x2)=0. ? 故方程 f(x)=0在區(qū)間［ emm， e2mm］ ? 內(nèi)有兩個不等實根 . 56 ? 點評： 方程根的問題 ， 一是可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題 ， 通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的性質(zhì) ， 再結(jié)合圖象的性質(zhì)觀察交點情況 ， 由圖象直觀地得出相應(yīng)的結(jié)論；二是利用性質(zhì) f(a)f(b)＜ 0(ab， 且f(x)在區(qū)間 (a， b)上是連續(xù)函數(shù) )， 則方程 f(x)=0在 (a， b)上至少有一個根 . 57 ? 已知函數(shù) f(x)=lnx， g(x)= x的方程 ? g(x2)f(1+x2)=k有四個不同的實根， ? 求實數(shù) k的取值范圍 . ? 解： 令 ? 則 ? 由 φ′(x)＞ 0，得 x(x+1)(x1)＞ 0， ? 所以 1＜ x＜ 0或 x＞ 1. ? 由 φ′(x)＜ 0，得 x＜ 1或 0＜ x＜ 1. 12? ? ? ? ? ?2 2 2 211 1 ln( 1 )22x g x f x x x? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ?32 2 2112 .1 1 1x x xx x x xx x x x? ????? ? ? ?? ? ?58 ? 所以 φ(x)在 (∞， 1)， (0， 1)上是減函數(shù)， ? 在 (1， 0)， (1， +∞)上是增函數(shù) .從而 φ(0)=0為φ(x)的極大值， φ(1)=φ(1)= ln2為 φ(x)的極小值且 φ(x)為偶函數(shù) . ? 由此可得函數(shù) y=φ(x) ? 的草圖如右 . ? 若方程 φ(x)=k ? 有四個不同的實根，則直線 y=k與曲線 y=φ(x)有四個不同的公共點 .由圖知，實數(shù) k的取值范圍是 ( ln2， 0). 121259 ? 3. 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交 a元(3≤a≤5)的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為 x元 (9≤x≤11)時，一年的銷售量為 (12x)2萬件 . ? (1)求分公司一年的利潤 L(x)(萬元 )與每件產(chǎn)品的售價 x(元 )的函數(shù)關(guān)系式； ? (2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值 Q(a). 題型 8 利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題 60 ? 解： (1)分公司一年的利潤 L(x)(萬元 )與售價x(元 )的函數(shù)關(guān)系式為 L(x)=(x3a)(12x)2, ? x∈ ［ 9,11］ . ? (2)L′(x)=(12x)22(x3a)(12x) ? =(12x)(18+2a3x). ? 令 L′(x)=0,得 x=6+ a或 x=12 ? (不合題意，舍去 ). ? 因為 3≤a≤5,所以 8≤6+ a≤ . ? 在 x=6+ a兩側(cè) L′(x)的值由正變負(fù)， ? 所以，①當(dāng) 8≤6+ a＜ 9，即 3≤a＜ 時， 232323232839261 ? ［ L(x)］ max=L(9)=(93a)(129)2=9(6a)； ? ②當(dāng) 9≤6+ a≤ ，即 ≤a≤5時， ? ［ L(x)］ max=L(6+ a) ? =(6+ a3a)［ 12(6+ a)］ 2=4(3 a)3. ? 9(6a) (3≤a ) ? 4(3 a)3 ( ≤a≤5). 所以 Q(a)= 232839223 23231313929262 ? 答： 若 3≤a＜ ，則當(dāng)每件售價為 9元時，分公司一年的利潤 L(x)最大，最大值Q(a)=9(6a)萬元； ? 若 ≤a≤5，則當(dāng)每件售價為 (6+ a)元時，分公司一年的利潤 L(x)最大，最大值Q(a)=4(3 a)3萬元 . ? 點評： 涉及實際問題的最值問題，一般是利用函數(shù)知識來解決，即先建立函數(shù)關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用求函數(shù)最值的方法求得最值 .注意求得的解要符合實際意義 . 2313929263 統(tǒng)計表明 ， 某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量 y ( 升 ) 關(guān)于行駛速度 x ( 千米 / 小時 ) 的函數(shù)解析式可以表示為 ： y ＝1128000x3－380x ＋ 8 ( 0 x ≤ 120 ) ． 已知甲 、 乙兩地相距 100 千米 ． ( 1 ) 當(dāng)汽車以 40 千米 / 小時的速度勻速行駛時 ， 從甲地到乙地要耗油多少升 ？ ( 2 ) 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時 ， 從甲地到乙地耗油最少 ？ 最少為多少升 ？ 64 解： ( 1 ) 當(dāng) x ＝ 40 時，汽車從甲地到乙地行駛了10040＝ 2. 5小時， 要耗油 (1128000 403－380 40 ＋ 8 ) ＝ 升 ． 故當(dāng)汽車以 40 千米 / 小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油為 升 ． 65 ( 2 ) 當(dāng)速度為 x 千米 / 小時時，汽車從甲地到乙地行駛了100x小時，設(shè)耗油量為 h ( x ) 升， 依題意得： h ( x ) ＝ (1128000x3－380x ＋ 8 ) ? 在 (0， 2a)上， f ′(x)＞ 0。 ? 當(dāng) x＞ 1且 x≠2時， f ′(x)＞ 0. ? 因為 x=1時函數(shù)無意義，根據(jù)極值點的特 ? 點知 x=1是 f(x)的極大值點， ? 即［ f(x)］極大值 =f(1)=34， ? 且 f(x)無極小值 . 32 ? 點評： 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的步驟是：① 求導(dǎo)函數(shù)； ② 解方程 f ′(x)=0； ③ 判斷 f ′(x)在 f ′(x)=0的根 x0左右的符號 ， 若左負(fù)右正 ， 則此點為極小值點；若左正右負(fù) ， 則此點為極大值點；若左右同號 ， 則非極值點 .若是求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 ， 則先求極值 ， 然后與兩端點值進(jìn)行比較可得最值 . 33 求函數(shù) f ( x
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