高中數(shù)學(xué)人教a版選修2-2教學(xué)課件：2、1章末(已修改)
2024-12-03 19:03 本頁(yè)面
【正文】 1. 導(dǎo)數(shù)的概念 對(duì)于函數(shù) y ＝ f ( x ) ，如果自變量 x 在 x0處有增量 Δ x ，那么函數(shù) y 相應(yīng)地有增量 Δ y ＝ f ( x0＋ Δ x ) － f ( x0) ，比值Δ yΔ x就叫做函數(shù) y ＝ f ( x ) 從 x0到 x0＋ Δ x 的平均變化率，即Δ yΔ x＝f ( x0＋ Δ x ) － f ( x0)Δ x.如果當(dāng) Δ x → 0 時(shí)，Δ yΔ x有極限，我們就說(shuō) y＝ f ( x ) 在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做 f ( x ) 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)，即 y ′ |x ＝ x 0＝ f′ ( x0) ＝ limΔ x → 0 Δ yΔ x＝ limΔ x → 0 f ( x0＋ Δ x ) － f ( x0)Δ x. 函數(shù) y ＝ f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù) f′ ( x ) ，就是當(dāng) Δ x → 0 時(shí)，函數(shù)的增量 Δ y 與自變量的增量 Δ x 之間的比值Δ yΔ x的極限，即 f′ ( x )＝ limΔ x → 0 Δ yΔ x＝ limΔ x → 0 f ( x ＋ Δ x ) － f ( x )Δ x. 2． 導(dǎo)數(shù)的意義 (1)幾何意義：函數(shù) y＝ f(x)在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù) f′(x0)就是曲線 y＝ f(x)在點(diǎn) P(x0， f(x0))處的切線的斜率 k， 即 k＝ f′(x0)． (2)物理意義：函數(shù) s＝ s(t)在點(diǎn) t處的導(dǎo)數(shù) s′(t)， 就是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)方程為 s＝ s(t)時(shí) ， 運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻 t時(shí)的瞬時(shí)速度 v， 即 v＝ s′(t)． 而函數(shù) v＝ v(t)在 t處的導(dǎo)數(shù) v′(t)， 就是運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻 t時(shí)的瞬時(shí)加速度 a， 即 a＝ v′(t)． 3． 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)關(guān)鍵是搞清所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn) ， 常見的類型有兩種 ， 一是求 “ 在某點(diǎn)處的切線方程 ” 則此點(diǎn)一定為切點(diǎn) ， 先求導(dǎo) ， 再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求 “ 過某點(diǎn)的切線方程 ” ， 這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn) ， 可先設(shè)切點(diǎn)為 Q(x1， y1)， 則切線方程為 y－ y1＝ f′(x1)(x－ x1)， 再由切線過點(diǎn) P(x0， y0)得 y0－ y1＝ f′(x1)(x0－ x1) ① 又 y1＝ f(x1) ② 由 ①② 求出 x1， y1的值 ． 即求出了過點(diǎn) P(x0， y0)的切線方程 ． [ 例 1] 設(shè) f ( x ) 為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件 limx → 0 f ( 1 ) － f ( 1 － x )2 x＝－ 1 ，求曲線 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) (1 ， f ( 1) ) 處的切線的斜率． [分析 ] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，欲求 y＝ f(x)在點(diǎn) (1，f(1))處的切線斜率，即求 f′(1)，即可得所求斜率． [ 解析 ] ∵ f ( x ) 為可導(dǎo)函數(shù)，且 limx → 0 f ( 1 ) － f ( 1 － x )2 x＝－ 1 ， ∴12limx → 0 f ( 1 ) － f ( 1 － x )x＝－ 1 ，即12f′ ( 1) ＝－ 1 ， ∴ f′ ( 1) ＝－ 2. 因此 y ＝ f ( x ) 在點(diǎn) (1 ， f ( 1 ) ) 處的切線的斜率為－ 2. [例 2] 已知函數(shù) f(x)＝ ax3＋ 3x2－ 6ax－ 11， g(x)＝ 3x2＋6x＋ 12， 直線 m： y＝ kx＋ 9， 又 f′(－ 1)＝ 0. (1)求 a的值； (2)是否存在實(shí)數(shù) k， 使直線 m既是曲線 y＝ f(x)的切線 ，又是 y＝ g(x)的切線 ？ 如果存在 ， 求出 k的值；如果不存在 ，請(qǐng)說(shuō)明理由 ． [分析 ] 直線 y＝ kx＋ 9過定點(diǎn) (0,9)， 可先求出過點(diǎn) (0,9)與 y＝ g(x)相切的直線方程 ， 再考查所求直線是否也是曲線 y＝ f(x)的切線 ． [ 解析 ] ( 1) 因?yàn)?f′ ( x ) ＝ 3 ax2＋ 6 x － 6 a ，且 f′ ( － 1) ＝ 0 ， ∴ 3 a － 6 － 6 a ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 2. ( 2) 因?yàn)橹本€ m 過定點(diǎn) ( 0 ,9) ，先求過點(diǎn) ( 0,9
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