高中數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題大全(已修改)
2025-08-17 18:42 本頁面
【正文】 數(shù)學(xué)壓軸題圓錐曲線類一1．如圖，已知雙曲線C：的右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)M，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求證：； （II）若且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程； （III）在（II）的條件下，直線過點(diǎn)A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷的范圍，并用代數(shù)方法給出證明.2．已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （III）在集合，且中，是否存在正整數(shù)N，使得不等式對一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N；若不存在，請說明理由. （IV）請構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個(gè)極限值.19. 設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為2. （I）求此雙曲線的漸近線的方程； （II）若A、B分別為上的點(diǎn)，且，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（III）過點(diǎn)能否作出直線，使與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，求出直線的方程；若不存在，說明理由.3. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對任意自然數(shù)都成立，其中m為常數(shù)，且. （I）求證數(shù)列是等比數(shù)列； （II）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足：，試問當(dāng)m為何值時(shí)，成立？4．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線分別交橢圓和軸正半軸于，兩點(diǎn)，且分向量所成的比為8∶5．（1）求橢圓的離心率；（2）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線：相切，求橢圓方程．5．（理）給定正整數(shù)和正數(shù)，對于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差．（文）給定正整數(shù)和正數(shù)，對于滿足條件的所有無窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差．6．垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點(diǎn)，AA2分別為雙曲線的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，設(shè)直線A1M與A2N交于點(diǎn)P（x0，y0）（Ⅰ）證明：（Ⅱ）過P作斜率為的直線l，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的最小值.7．已知函數(shù) （Ⅰ）若 （Ⅱ）若 （Ⅲ）若的大小關(guān)系（不必寫出過程）.數(shù)學(xué)壓軸題圓錐曲線類二1．如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB.2．設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由. （此題不要求在答題卡上畫圖）3． 已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足（Ⅰ）證明（Ⅱ）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（Ⅲ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對任意b0，都有4．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求∠F1PF2最大值．5．已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且． (Ⅰ)求函數(shù)的解析式； (Ⅱ)解不等式； (Ⅲ)若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)壓軸題圓錐曲線類三1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （Ⅰ）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （Ⅱ）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由.2．函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且 設(shè)是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù) （Ⅰ）用、表示m；（Ⅱ）證明：當(dāng)； （Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.3．已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且（I）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較與的大小.4．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).5．橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). （Ⅰ）求雙曲線C2的方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)
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