【正文】 高考圓錐曲線壓軸題型總結(jié) 直線與圓錐曲線相交，一般采取設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理，在這里我將這個(gè)問題分成了三種類型，其中第一種類型的變式比較多。而方程思想，函數(shù)思想在這里也用得多，兩種思想可以提供簡單的思路，簡單的說就是只需考慮未知數(shù)個(gè)數(shù)和條件個(gè)數(shù) ,。使用韋達(dá)定理時(shí)需注意成立的條件。 題型一：條件和結(jié)論可以直接 或經(jīng)過轉(zhuǎn)化后可 用兩根之和與兩根之積來 處理 1. 福建 直線 :1lx?? ， P 為平面上的動(dòng)點(diǎn)， F(1,0)過 P 作直線 l 的垂線，垂足為點(diǎn) Q ，且 QP QF FP FQ? ． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （Ⅱ）過點(diǎn) F 的直線交軌跡 C 于 AB， 兩點(diǎn)，交直線 l 于點(diǎn) M ，已知 1MA AF?? ，2MB BF?? ，求 12??? 的值； 本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．滿分 14 分． 解法一：（ Ⅰ ）設(shè)點(diǎn) ()Px y， ，則 ( 1 )Qy?， ，由 QP QF FP FQ? 得： ( 1 0 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )x y x y y? ? ? ? ?， ， ， ，化簡得 2:4C y x? ． （Ⅱ）設(shè)直線 AB 的方程為： 1( 0)x my m? ? ?． 設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， ，又 21Mm????????， 聯(lián)立方程組 2 41yxx my? ?? ??? ， ，消去 x 得： 2 4 4 0y my? ? ?， 2( 4 ) 12 0m? ? ? ? ?，故 121244y y myy???? ???，． 由 1MA AF?? ， 2MB BF?? 得： 1 1 12yym ?? ??，2 2 22yym ?? ??，整理得：1 121 my? ?? ?，2 221 my? ?? ?， 12 122 1 12 m y y?? ??? ? ? ? ? ?????121222 yym y y?? ? ? 242 4mm?? ? ? 0? ． 解法二：（Ⅰ）由 QP QF FP FQ? 得： ( ) 0F Q P Q P F??， P B Q M F O A x y ( ) ( ) 0P Q P F P Q P F? ? ? ?， 220PQ PF? ? ?， 2 PQ PF??．所以點(diǎn) P 的軌跡 C 是拋物線，由題意，軌跡 C 的方程為： 2 4yx? ． （Ⅱ）由已知 1MA AF?? ， 2MB BF?? ，得 120??? ． 則： 12MA AFMB BF????．…………① 過點(diǎn) AB， 分別作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足分別為 1A ， 1B ， 則有： 11MA AA AFMB BB BF??．…………② 由①②得： 12AF AFBF BF????，即 120????． 2. (全國卷Ⅰ )）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，斜率為 1 且過橢圓右焦點(diǎn) F 的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)， OA OB? 與 (3, 1)a??共線。 （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè) M 為橢圓上任意一點(diǎn)，且 ( , )O M O A O B R? ? ? ?? ? ?，證明 22 ??? 為定值。 解：設(shè)橢圓方程為 )0,(),0(12222 cFbabyax ???? 則直線 AB 的方程為 cxy ?? ，代入 12222 ??byax ，化簡得 02)( 22222222 ????? bacacxaxba . 令 A（ 11,yx ）， B 22,( yx ），則 2 2 2 2 21 2 1 22 2 2 22 ,.a c a c a bx x x xa b a b?? ? ??? 由 1 2 1 2( , ) , ( 3 , 1 ) ,O A O B x x y y a O A O B? ? ? ? ? ? ?與 a 共線，得 ,0)()(3 2121 ???? xxyy 又 cxycxy ???? 2211 , ， .23,0)()2(3 212121 cxxxxcxx ????????? 即 232222 cba ca ?? ，所以 2222 abacba ????? ， 故離心率 .36?? ace （ II）證明：（ 1）知 22 3ba ? ，所以橢圓 12222 ??byax 可化為 .33 222 byx ?? 設(shè) ( , )OM x y? ，由已知得 ),(),(),( 2211 yxyxyx ?? ?? ??? ?? ??? .,2121 xxy xxx ?? ?? ),( yxM? 在橢圓上， .3)(3)( 2221221 byyxx ????? ???? 即 .3)3(2)3()3( 221212222221212 byyxxyxyx ?????? ???? ① 由（ 1）知 .21,23,23 222221 cbcacxx ???? .0329233)(34))((33832222212121212121222222221?????????????????cccccxxxxcxcxxxyyxxcbabacaxx 又 2222222121 33,33 byxbyx ???? ，代入①得 .122 ???? 故 22 ??? 為定值，定值為 1. 3. 如圖、橢圓 22 1( 0 )xy abab?? 的一個(gè)焦點(diǎn)是 F（ 1， 0），O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . （Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn) F 的直線 l 交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn) .若直線 l 繞點(diǎn) F 任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有2 2 2O A O B A B? ,求 a 的取值范圍 . 本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜 合解題能力 .滿分 12 分 . 解法一： (Ⅰ )設(shè) M， N 為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 因?yàn)椤?MNF 為正三角形， 所以 32OF MN? , 即 1＝32 , b解 得 ＝ 221 4,ab? ? ? 因此，橢圓方程為?? (Ⅱ )設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y (ⅰ )當(dāng)直線 AB 與 x 軸重合時(shí)， 2 2 22 2 22 2 22 , 4 ( 1 ) ,.O A O B a A B a aO A O B A B? ? ? ???因 此 ， 恒 有 (ⅱ )當(dāng)直線 AB 不與 x 軸重合時(shí)， 設(shè)直線 AB 的方程為： 221 , 1 ,xyx m y ab? ? ? ?代 入 整理得 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0 ,a b m y b m y b a b? ? ? ? ? 所以2 2 2 21 2 1 22 2 2 2 2 22 ,b m b a by y y ya b m a b m?? ? ??? 因?yàn)楹阌?2 2 2O A O B A B??，所以 ? AOB 恒為鈍角 . 即 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) 0O A O B x y x y x x y y? ? ? ?恒成立 . 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x y y m y m y y y m y y m y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2( 1 ) ( ) 2 10.m b a b b ma b m a b mm a b b a b aa b m??? ? ???? ? ? ???? 又 a2+b2m20,所以 m2a2b2+b2a2b2+a20 對m?R 恒成立， 即 a2b2m2 a2 a2b2+b2 對 m?R 恒成立 .當(dāng) m? R 時(shí)， a2b2m2 最小值為 0，所以 a2 a2b2+b20. a2a2b2 b2, a2( a21)b2= b4,因?yàn)?a0,b0,所以 ab2,即 a2a10,解得 a 152? 或a 152? (舍去 )，即 a152? ,綜合（ i） (ii)， a 的取值范圍為（ 152? ， +? ） . 解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（ i）當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時(shí)， x=1 代入 2 2 222 2 21 ( 1 )1, Ay b aya b a ?? ? ?=1. 因?yàn)楹阌?|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)4 yA2, yA21，即 2 1aa? 1, 解得 a 152? 或 a152? (舍去 )，即 a152? . （ ii）當(dāng)直線 l 不垂直于 x 軸時(shí)，設(shè) A（ x1,y1） , B（ x2,y2） . 設(shè)直線 AB 的方程為 y=k(x1)代入 221,xyab??得 (b2+a2k2)x22a2k2x+ a2 k2 a2 b2=0, 故 x1+x2= 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 22 ,.a k a k a bxxb a k b a k????因?yàn)楹阌?|OA|2+|OB|2|AB|2, 所以 x21+y21+ x22+ y22( x2x1)2+(y2y1)2,得 x1x2+ y1y20 恒成立 . x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x11) (x21)=(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 2 2 2 22 ( )a k a b a k a a b b k a bkkb a k b a k b a k? ? ? ?? ? ?? ? ?. 由題意得（ a2 a2 b2+b2） k2 a2 b20 對 k?R 恒成立 . ①當(dāng) a2 a2 b2+b20 時(shí)，不合題意； ②當(dāng) a2 a2 b2+b2=0 時(shí)， a=152?。 ③當(dāng) a2 a2 b2+b20 時(shí)， a2 a2(a21)+ (a21)0， a4 3a2 +10, 解得 a2 352? 或 a2 352? （舍去）， a152? ，因此 a? 152? . 綜合（ i）（ ii）， a 的取值范圍為（ 152? ， +? ） 解法 1 中 2 2 2O A O B A B? 的轉(zhuǎn)化才是亮點(diǎn)。 4. 2020 浙江理數(shù)） (21) （本題滿分 15 分）已知 m＞ 1，直線 2:02ml x m y? ? ?，橢圓2 22:1xCym ??， 1, 2FF分別為橢圓 C 的左、右焦點(diǎn) . （ Ⅰ ）當(dāng)直線 l 過右焦點(diǎn) 2F 時(shí)，求直線 l 的方程； （ Ⅱ ）設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 ,AB兩點(diǎn)， 12AFFV ， 12BFFV 的重心分別為 , O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 . 解析： 本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （Ⅰ）解：因?yàn)橹本€ :l 2 02mx my? ? ? 經(jīng)過 22 ( 1,0)Fm? ， 所以 22 1 2mm ?? ,得 2 2m? ， 又因?yàn)?1m? ，所以 2m? ，故直線 l 的方程為 22202xy? ? ?。 （Ⅱ）解：設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y。 由222221mx myx ym? ?????? ????，消去 x 得 222 1 04my m y? ? ? ? 則由 2228 ( 1 ) 8 04mmm? ? ? ? ? ? ? ?，知 2 8m? ， 且有 21 2 1 2 1,2 8 2mmy y y y? ? ? ? ?。由于 12( , 0), ( , 0),F c F c? ，故 O 為 12FF 的中 點(diǎn)， 由 2 , 2A G G O B H H O??，可知 1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3x y x yGh 222 1 2 1 2( ) ( )99x x y yGH ???? 設(shè) M 是 GH 的中點(diǎn)，則 1 2 1 2( , )66x x y yM ??，由題意可知 2,MO GH? 即 22221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4 [ ( ) ( ) ]6 6 9 9x x y y x x y y? ? ? ?? ? ?即 1 2 1 2 0x x y y?? 而 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )mmx x y y m y m y y y? ? ? ? ?22 1( 1 ( )82mm? ? ?） 所以 2 1 082m ?? 即 2 4m? 又因?yàn)?1m?