【正文】 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 1 直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型 直線與 橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況， 從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn) 對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切． 直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個(gè)曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。 解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是： （ 1）直線的 斜率不存在，直線的斜率存， （ 2）聯(lián)立直線和曲線的方程組； （ 3） 討論類一元二次方程 （ 4）一元二次方程的判別式 （ 5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換 （ 6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換 （ 7） x,y， k(斜率 )的取值范圍 （ 8）目標(biāo)：弦長，中點(diǎn)， 垂直，角度，向量，面積 ，范圍 等等 運(yùn)用的知識(shí)： 中點(diǎn)坐標(biāo)公式： 1 2 1 2,y22x x y yx ????，其中 ,xy是點(diǎn) 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 的中點(diǎn)坐標(biāo)。 弦長公式：若點(diǎn) 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 在直線 ( 0)y kx b k? ? ? 上， 則 1 1 2 2y k x b y k x b? ? ? ?， ，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一， 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x k x k x k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 1 2(1 ) [ ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 或者 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 221 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x y y y yk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 1 221(1 ) [ ( ) 4 ]y y y yk? ? ? ?。 兩條直線 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b? ? ? ?垂直 ：則 12 1kk?? 兩條直線 垂直，則直線 所在的 向量 120vv? 韋達(dá)定理：若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?有兩個(gè)不同的根 12,xx，則溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 2 1 2 1 2,bcx x x xaa? ? ? ?。 常見的一些題型： 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 例題 已知直線 :1l y kx??與橢圓 22:14xyC m??始終有交點(diǎn)，求 m 的取值范圍 思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn) （ 0， 1） ，橢圓的特點(diǎn)是 過定 點(diǎn)（ 2， 0）和（ 2， 0），和動(dòng)點(diǎn) 0 ), 4mm??（ ， 且 。 解：根據(jù)直線 :1l y kx??的方程可知，直線恒過定點(diǎn)（ 0， 1），橢圓 22:14xyC m??過動(dòng)點(diǎn) 0 ), 4mm??（ ， 且 ，如果直線 :1l y kx??和橢圓 22:14xyC m??始終有交點(diǎn)，則14mm??， 且 ，即 14mm??且 。 規(guī)律提示： 通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點(diǎn)： : 1 0 1l y k x? ? ? 過 定 點(diǎn) （ ， ） : ( 1 ) 1l y k x? ? ? ?過 定 點(diǎn) （ ， 0 ） : 2 ( 1 ) 1l y k x? ? ? ? ?過 定 點(diǎn) （ ， 2 ） 證明直線過定點(diǎn)，也是 將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一 ，再得出結(jié)論。 練習(xí)： 過點(diǎn) P(3,2) 和拋物線 232 ??? xxy 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條 。 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 分析： 作出拋物線 232 ??? xxy ，判斷點(diǎn) P(3,2)相對(duì)拋物線的位置。 解： 拋物線 232 ??? xxy 如圖，點(diǎn) P（ 3， 2）在拋物線的內(nèi)部，根據(jù)過拋物線內(nèi)一點(diǎn)和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，可知過點(diǎn)P(3,2) 和拋物線 232 ??? xxy 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 一條。故選擇 D 規(guī)律提示： 含焦點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳A錐曲線的內(nèi)部。 （這里可以用公司的設(shè)備畫圖） 一、 過一定點(diǎn) P 和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況： 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 3 （ 1）若定點(diǎn) P 在拋物線外，則過點(diǎn) P 和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 3 條：兩條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線； （ 2）若定點(diǎn) P 在拋物線上，則過點(diǎn) P 和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 2 條：一條切線，一條和對(duì)稱軸平行或重合的直線； （ 3）若 定點(diǎn) P 在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn) P 和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 1 條：和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合的直線和拋物 線只有一個(gè)交點(diǎn)。 二、過定點(diǎn) P 和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況： （ 1）若定點(diǎn) P 在雙曲線內(nèi)，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 2 條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)； （ 2）若定點(diǎn) P 在雙曲線上，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 3 條：一條切線，2 條和漸近線平行的直線； （ 3）若定點(diǎn) P 在雙曲線外且不在漸近線上，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 4條： 2 條切線和 2 條和漸近線平行的直線； （ 4）若定點(diǎn) P 在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個(gè)公共 點(diǎn)的直線有 2 條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線； （ 5）若定點(diǎn) P 在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對(duì)稱中心，過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不存在。 題型二：弦的垂直平分線問題 弦的垂直平分線問題和對(duì)稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個(gè)是弦，哪個(gè)是對(duì)稱軸，用到的知識(shí)是：垂直（兩直線的斜率之積為 1）和平分（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）。 例題 過點(diǎn) T(1,0)作直線 l 與曲線 N ： 2yx? 交于 A、 B 兩點(diǎn)，在 x 軸上是否存在 一點(diǎn)E( 0x ,0)，使得 ABE? 是等邊三角形，若存在，求出 0x ；若不存在，請(qǐng)說明理由。 分析： 過點(diǎn) T(1,0)的直線和曲線 N ： 2yx? 相交 A、 B 兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運(yùn)用韋達(dá)定理，得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)， 再由垂直和中點(diǎn)，寫出垂直平分線的方程，得出 E 點(diǎn)坐標(biāo)，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的 32 倍。運(yùn)用弦長公式求弦長。 解： 依題意知，直線的斜率存在，且不等于 0。 設(shè)直線 : ( 1)l y k x??， 0k? ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 。 由2( 1)y k xyx???? ?? 消 y 整理，得 2 2 2 2( 2 1 ) 0k x k x k? ? ? ? ① 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 4 2 2 4 2( 2 1 ) 4 4 1 0k k k? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 10 4k?? ② 由韋達(dá)定理，得： 212 221,kxx k ?? ? ? 121xx?。 則線段 AB 的中點(diǎn)為 222 1 1( , )22k kk??。 線段的垂直平分線方程為： 221 1 1 2()22 kyxk k k?? ? ? ? 令 y=0,得0 21122x k??，則211( ,0)22E k ? ABE? 為正三角形， ?211( ,0)22E k ?到直線 AB 的距離 d 為 32 AB 。 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ? 2 2214 1k kk??? 212 kd k?? 22223 1 4 1122kkkkk??? ? ? 解得 3913k?? 滿足 ② 式 此時(shí)0 53x?。 思維規(guī)律 ： 直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率 k，利用韋達(dá)定理法，將弦的中點(diǎn)用 k 表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標(biāo)；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的 32 倍，將 k 確定，進(jìn)而求出 0x 的坐標(biāo)。 例題 已知橢圓 12 22 ??yx 的左焦點(diǎn)為 F， O為坐標(biāo)原點(diǎn)。 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 5 （Ⅰ）求過點(diǎn) O、 F，并且與 2x?? 相切的圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn) F 且不與坐標(biāo)軸垂直 的直線 交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，線段 AB 的垂直平分線與 x軸交于點(diǎn) G，求點(diǎn) G橫坐標(biāo)的取值范圍 。 分析： 第一問求圓的方程，運(yùn)用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點(diǎn)的 距離；第二問，過定點(diǎn)的弦的垂直平分線如果和 x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于 0，設(shè)出弦 AB所在的直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理求出弦中點(diǎn)的 橫 坐標(biāo)，由弦 AB 的方程求出中點(diǎn)的總坐標(biāo)， 再有弦 AB的斜率，得到線段 AB的垂直平分線的方程， 就可以得到點(diǎn) G的坐標(biāo)。 解： (I) ∵ a2=2， b2=1， ∴ c=1， F(1， 0)， l:x=2. ∵圓過點(diǎn) O、 F,∴圓心 M在直線 x= 上21 設(shè) M( t,21 )， 則圓半徑 ： r=|(21 )(2)|=23 由 |OM|=r， 得23)21( 22 ??? t， 解得 t=177。 2 ， ∴所求圓的方程為 (x+21 )2+(y177。 2 )2=49 . (II)由題意可知，直線 AB的斜率存在，且不等于 0, 設(shè)直線 AB的方程為 y=k(x+1)(k≠ 0)， 代入 22x +y2=1， 整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k22=0 ∵直線 AB過橢圓的左焦點(diǎn) F， ∴方程一定有 兩個(gè)不等實(shí)根 , 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB中點(diǎn) N(x0， y0)， 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 6 則 x1+x1= ,12422?kk 20 1 2 212( ) ,2 2 1kx x x k? ? ? ? ? 00 2( 1) 21ky k x k? ? ? ? ∴ AB垂直平分線 NG的方程為 )(1 00 xxkyy ???? 令 y=0，得 2200 2222 1 2 1C kkx x k y kk? ? ? ? ??? 222112 1 2 4 2kkk? ? ? ? ??? ∵ .021,0 ?????cxk ∴點(diǎn) G橫坐標(biāo)的取值范圍為（ 0,21? ） 。 技巧提示 ： 直線過定點(diǎn)設(shè)直線的斜率 k，利用韋達(dá)定理 ，將弦的中點(diǎn)用 k 表示出來， 韋達(dá)定理就是同類坐標(biāo)變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個(gè)技巧。 再利用垂直關(guān)系將弦 AB 的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的坐標(biāo)（關(guān)于 k 的函數(shù)）。 直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。 練 習(xí) 1： 已知橢圓 )0(1:2222 ???? babyaxC 過點(diǎn) )23,1( ，且離心率 21?e 。 （ Ⅰ ）求橢圓方程； （ Ⅱ ）若直線 )0(: ??? kmkxyl 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) M 、 N ，且線段 MN 的垂直平分線過定點(diǎn) )0,81(G ，求 k 的取值范圍。 分析 ： 第一問中已知橢圓的離心率，可以得到 ,ab的關(guān)系式，再根據(jù)“ 過點(diǎn) )23,1( ”得到溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 7 ,ab的第 2 個(gè)關(guān)系式，解方程組，就可以解出 ,ab的值，確定橢圓方程。 第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過 判別式得出 ,km的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出 弦 MN 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn) )0,81(G ，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為 1，可得 ,km的等式，用 k 表示 m 再代入不等式 ， 就可以求出 k 的取值范圍。 解： （ Ⅰ ） 離心率 21?e ， 22 131 44ba? ? ? ?，即 2243ba? （ 1）； 又橢圓 過點(diǎn) )23,1( ，則221914ab??，（ 1）式代入上式，解得 2 4a? ， 2 3b? ， 橢圓方程 為22143xy??。 （ Ⅱ ） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y， 弦 MN 的中點(diǎn) A 00( , )xy 由223 4 12y kx mxy???? ??? 得： 2 2 2( 3 4 ) 8 4 12 0k x m k x m? ? ? ? ?， 直線 )0(: ??? kmkxyl 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) ，