【正文】 212 bb ??? ，bb 112 ???? 當(dāng)且僅當(dāng) 22?b 時， S 取到最在值 1， 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 31 （Ⅱ）解：由?????????,14,22 yxbkxy 得 ，bk bxxk 01241 222 ?????????? ? ，bk 14 22 ???? 2121 xxkAB ???? 2411412222 ???????kbkk 設(shè) O 到 AB 的距 離為 d ，則 ，ABsd 12 ?? 又因?yàn)?，kbd21?? 所以 ，kb 122 ?? 代入②式并整理，得 ，kk 04124 ??? 解得， ，bk 23,21 22 ?? 代入①式檢驗(yàn)， 0?? 。 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 36 （Ⅰ）若點(diǎn) N 是點(diǎn) C 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O 的對稱點(diǎn)，求△ ANB 面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于 y 軸的直線 l，使得 l 被以 AC 為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，說明理由。 本題主 要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 由已知2321mk ?? ，得 223 ( 1)4mk??。 練習(xí)：已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線 2 4xy? 的焦點(diǎn)，離心率等于 255 。 （ I） 求雙曲線 C的方程； (II)過點(diǎn) P(0,4)的直線 l ，交雙曲線 C于 A,B兩點(diǎn)，交 x軸于 Q點(diǎn)（ Q點(diǎn)與 C的頂點(diǎn)不重合）。 2， \ － 2163。239。238。，將 P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，用 l 表示出來。 例題 設(shè)過點(diǎn) D(0,3)的直線交曲線 M： 22194xy??于 P、 Q 兩點(diǎn)，且 DP DQl=uuur uuur ,求實(shí)數(shù) l的取值范圍。 練習(xí) ： （ 2022遼寧卷文 、理 ） 已知，橢圓 C以過點(diǎn) A（ 1， 32 ），兩個焦點(diǎn)為（－ 1， 0）（ 1，0）。總之，本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點(diǎn)的直線和曲線相交，點(diǎn)的坐標(biāo) 是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計(jì)算量，達(dá)到節(jié)省時間的目的。 例題 已知點(diǎn) A、 B、 C 是橢圓 E： 221xyab?? ( 0)ab?? 上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A(2 3,0)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線 BC 過橢圓的 中心 O，且 0AC BC? ， 2BC AC? ，如圖。直線不溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 13 過定點(diǎn)，也不知道斜率，設(shè)出 mkxyl ??： ，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。 不過如果看到：將 211 2116 42 14kx k????中的 12kk用 換下來， 1x 前的系數(shù) 2用－ 2換下來，就得點(diǎn) N 的坐標(biāo) 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk????，如果在解題時，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少 ， 這樣真容 易出錯， 但這樣減少計(jì)算量 。下面我們就通過幾個考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。設(shè)直線 l 的方程為： ( 5), ( 0)y k x k? ? ?， C 11( , )xy 、 D 22( , )xy ， CD 的中點(diǎn) M 00( , )xy 。 第二問，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過 判別式得出 ,km的不等式，再根據(jù)韋達(dá)定理，得出 弦 MN 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用弦的直線方程，得到中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)和定點(diǎn) )0,81(G ，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為 1，可得 ,km的等式，用 k 表示 m 再代入不等式 ， 就可以求出 k 的取值范圍。 2 ， ∴所求圓的方程為 (x+21 )2+(y177。 則線段 AB 的中點(diǎn)為 222 1 1( , )22k kk??。 二、過定點(diǎn) P 和雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況： （ 1）若定點(diǎn) P 在雙曲線內(nèi)，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有 2 條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個公共點(diǎn)； （ 2）若定點(diǎn) P 在雙曲線上，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有 3 條：一條切線，2 條和漸近線平行的直線； （ 3）若定點(diǎn) P 在雙曲線外且不在漸近線上，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線有 4條： 2 條切線和 2 條和漸近線平行的直線； （ 4）若定點(diǎn) P 在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個公共 點(diǎn)的直線有 2 條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線； （ 5）若定點(diǎn) P 在兩條漸近線的交點(diǎn)上，即對稱中心，過點(diǎn) P 和雙曲線只有一個公共點(diǎn)的直線不存在。 常見的一些題型： 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 例題 已知直線 :1l y kx??與橢圓 22:14xyC m??始終有交點(diǎn)，求 m 的取值范圍 思路點(diǎn)撥：直線方程的特點(diǎn)是過定點(diǎn) （ 0， 1） ，橢圓的特點(diǎn)是 過定 點(diǎn)（ 2， 0）和（ 2， 0），和動點(diǎn) 0 ), 4mm??（ ， 且 。 兩條直線 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b? ? ? ?垂直 ：則 12 1kk?? 兩條直線 垂直，則直線 所在的 向量 120vv? 韋達(dá)定理：若一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a? ? ? ?有兩個不同的根 12,xx，則溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 2 1 2 1 2,bcx x x xaa? ? ? ?。 （這里可以用公司的設(shè)備畫圖） 一、 過一定點(diǎn) P 和拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線的條數(shù)情況： 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 3 （ 1）若定點(diǎn) P 在拋物線外，則過點(diǎn) P 和拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有 3 條：兩條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線； （ 2）若定點(diǎn) P 在拋物線上，則過點(diǎn) P 和拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有 2 條：一條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線； （ 3）若 定點(diǎn) P 在拋物線內(nèi)，則過點(diǎn) P 和拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有 1 條：和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物 線只有一個交點(diǎn)。 由2( 1)y k xyx???? ?? 消 y 整理，得 2 2 2 2( 2 1 ) 0k x k x k? ? ? ? ① 由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 4 2 2 4 2( 2 1 ) 4 4 1 0k k k? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 10 4k?? ② 由韋達(dá)定理，得： 212 221,kxx k ?? ? ? 121xx?。 解： (I) ∵ a2=2， b2=1， ∴ c=1， F(1， 0)， l:x=2. ∵圓過點(diǎn) O、 F,∴圓心 M在直線 x= 上21 設(shè) M( t,21 )， 則圓半徑 ： r=|(21 )(2)|=23 由 |OM|=r， 得23)21( 22 ??? t， 解得 t=177。 分析 ： 第一問中已知橢圓的離心率，可以得到 ,ab的關(guān)系式，再根據(jù)“ 過點(diǎn) )23,1( ”得到溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 7 ,ab的第 2 個關(guān)系式，解方程組，就可以解出 ,ab的值，確定橢圓方程。 解： 假設(shè)存在直線滿足題意， 由題意知，過 A 的直線的斜率存在，且不等于。 隨著幾何畫板的開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問題，好多以前 我們不知道的、了解不深入的 幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了， 其中 大部分 都有可以遵循的規(guī)律，高考 出題人，也得設(shè)計(jì)好思維，讓我們在他們設(shè)好的路上“走”出來。 方法總結(jié) ： 本題由點(diǎn) A1(2,0)的橫坐標(biāo)－ 2是 方程 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ?的一個根， 結(jié)合 韋達(dá)定理 運(yùn)用同類坐標(biāo)變換， 得 到 點(diǎn) M的橫坐標(biāo)： 211 212814kx k?? ?， 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 11 再 利用直線 A1M的方程 通過 同點(diǎn)的 坐 標(biāo)變換，得 點(diǎn) M的縱坐標(biāo) ： 11 21414ky k? ?； 其 實(shí)由 222( 2)44y k xxy???? ??? 消 y 整理得 2 2 22 2 2( 1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 得到222 2216 42 14kx k?? ?， 即 222 228214kx k?? ?， 22 22414ky k?? ?很快。 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 12 解 （ I） 由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1( 0 )xy abab? ? ? ? 3, 1a c a c? ? ? ?， 22, 1, 3a c b? ? ? 22143xy? ? ? （ II） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由223 4 12y kx mxy???? ??? 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4( 3 ) 0k x m k x m? ? ? ? ?， 2 2 2 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 3 ) 0m k k m? ? ? ? ? ?， 223 4 0km? ? ? 21 2 1 2228 4 ( 3 ),3 4 3 4m k mx x x xkk ?? ? ? ? ???（ 注意： 這一步是同類坐標(biāo)變換） 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 注意 ：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換） 以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) (2,0),D 且 1AD BDkk? ?? ， 1212 122yyxx? ? ? ???， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x? ? ? ? ?， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k??? ? ? ?? ? ?， 227 16 4 0m mk k? ? ?，解得 12 22, 7km k m? ? ? ?，且滿足 223 4 0km? ? ? 當(dāng) 2mk?? 時， : ( 2)l y k x??，直線過定點(diǎn) (2,0), 與已知矛盾； 當(dāng) 27km?? 時， 2: ( )7l y k x??，直線過定點(diǎn) 2( ,0)7 綜上可知，直線 l 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 2( ,0).7 名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中， 以弦為直徑的圓經(jīng)過某個點(diǎn)，就是“弦對定點(diǎn)張直角”，也就是定點(diǎn)和弦的兩端點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為 1? ，建立等式。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。 直接計(jì)算 PQyy? 、 PQxx? ，就 降低了計(jì)算量。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn) P 的雙重身份：點(diǎn) P 即在直線 1AM 上也在直線 A2N 上，進(jìn)而得到12122kkk k t? ??? ，由直線 MN 的方程 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? 得直線與 x 軸的交點(diǎn)，即橫截距2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N的坐標(biāo)代入，化簡易得 4x t? ，由 4 3t ? 解出 433t? ，到此不要忘了考察 433t? 是 否滿足 2t? 。此類問題不難解決。238。239。237。 y2163。 小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力 .滿分 14 分 . 解法一： （Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ()Px y， ，則 ( 1 )Qy?， ，由 QP QF FP FQ? 得： ( 1 0) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )x y x y y? ? ? ? ?， ， ， ，化簡得 2:4C y x? . （Ⅱ）設(shè)直線 AB 的方程為： 1( 0)x my m? ? ?. 設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， ，又 21Mm????????， 聯(lián)立方程組 2 41yxx my? ?? ??? ， ，消去 x 得： 2 4 4 0y my? ? ?， 2( 4 ) 12 0m? ? ? ? ?，故 121244y y myy???? ???，． 由 1MA AF?? ， 2MB BF?? 得： 1 1 12yym ?? ??，2 2 22yym ?? ??，整理得： 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 23 1 121 my? ?? ?，2 221 my? ?? ?， 12 122 1 12 m y y??