【正文】 2 2 2 264 4( 3 4 ) ( 4 12) 0m k k m? ? ? ? ? ? ?，即 2243mk????????（ 1） 由韋達(dá)定理得： 21 2 1 2228 4 1 2,3 4 3 4m k mx x x xkk ?? ? ? ???， 則 20 0 02 2 24 4 3,3 4 3 4 3 4m k m k mx y k x m mk k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?， 直線 AG 的斜率為： 2223243441 32 3 43 4 8AGmmkKmk m k kk???? ? ????， 由直線 AG 和直線 MN 垂直可得：224 13 2 3 4m km k k ??? ? ?，即 2348 km k? ，代入（ 1）式，可得 2 2234( ) 4 38 k kk? ??，即 2 120k ? ，則 5510 10kk? ? ?或 。 老師支招 ：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點(diǎn)或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為： y kx m??， 再 和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程， 就能找到解決問題的門溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 8 路。本題解決過 程中運(yùn)用了兩大解題技巧：與韋達(dá)定理有關(guān)的同類坐標(biāo)變換 技巧 ，與點(diǎn)的縱 、橫坐標(biāo)有關(guān)的 同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換 技巧 。 解決 直線和圓錐曲線的 問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運(yùn)用這兩大解題技巧。 練習(xí) 設(shè) 1F 、 2F 分別是橢圓 22154xy??的左右焦點(diǎn)．是否存在過點(diǎn) (5,0)A 的直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、 D，使得22F C F D?？若存在，求直線 l 的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 分析 ：由22F C F D?得，點(diǎn) C、 D 關(guān)于過 2F的直線對(duì)稱，由直線 l 過 的定點(diǎn) A(5,0)不在22154xy??的內(nèi)部，可以設(shè)直線 l 的方程為：( 5)y k x??，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率 k 的取值范圍，由韋達(dá)定理得弦 CD 的中點(diǎn) M 的坐標(biāo)，由點(diǎn)M 和點(diǎn) F1 的坐標(biāo)，得斜率為 1k? ，解出 k 值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。 解： 假設(shè)存在直線滿足題意， 由題意知，過 A 的直線的斜率存在，且不等于。設(shè)直線 l 的方程為： ( 5), ( 0)y k x k? ? ?， C 11( , )xy 、 D 22( , )xy ， CD 的中點(diǎn) M 00( , )xy 。 由22( 5)4 5 20y k xxy???? ??? 得： 2 2 2 2( 4 5 ) 5 0 1 2 5 2 0 0k x k x k? ? ? ? ?， 又 直線 l 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) C、 D， 則 2 2 2 2=( 50 ) 4( 4 5 ) (125 20) 0k k k? ? ? ? ?，即2 10 5k??。 由韋達(dá)定理得： 221 2 1 25 0 1 2 5 2 0,4 5 4 5kkx x x x ?? ? ???， 則 22120 0 02 2 22 5 2 5 2 0, ( 5 ) ( 5 )2 4 5 4 5 4 5xx k k kx y k x kk k k? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?， M( 222545kk?，22045kk? ?)。 又點(diǎn) 2F(1,0) ，則直線 2MF 的斜率為222 222054525 15145MFkkkkk kk? ??? ???， 根據(jù) 2CD MF? 得：2 1MFkk??，即 225 115kk ???，此方程無解，即 k 不存在，也就是不溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 9 存在滿足條件的直線。 老師提醒： 通過以上 2 個(gè)例題和 2 個(gè)練習(xí)，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對(duì)稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式 得不等式，由韋達(dá)定理得出弦中點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步是利用 垂直關(guān)系，得出斜率之積為 1，或者是利用 中點(diǎn)坐標(biāo) 和對(duì)稱軸直線的斜率，寫出垂直平分線的方程，就可以解決問題。需要注意的一點(diǎn)是，求出的參數(shù)一定要滿足判別式。 題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)的問題 圓錐曲線自身有一些規(guī)律性的東西， 其中一些性質(zhì) 是 和直線與圓錐曲線相交的弦有關(guān)系，對(duì)這樣的一些性質(zhì)，我們必須了如指掌，并且必須會(huì)證明 。 隨著幾何畫板的開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器證明幾何問題，好多以前 我們不知道的、了解不深入的 幾何或代數(shù)性質(zhì)，都如雨后春筍般的出來了， 其中 大部分 都有可以遵循的規(guī)律，高考 出題人，也得設(shè)計(jì)好思維，讓我們?cè)谒麄冊(cè)O(shè)好的路上“走”出來。下面我們就通過幾個(gè)考題領(lǐng)略一下其風(fēng)采。 例題 已知橢圓 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 32 ，且在 x 軸上的頂點(diǎn)分別為A1(2,0),A2(2,0)。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點(diǎn) T,點(diǎn) P 為直線 l 上異于點(diǎn) T 的任一點(diǎn)，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點(diǎn)，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。 分析 ：第一問是待定系數(shù)法求軌跡方程；第二問中，點(diǎn) A A2 的坐標(biāo)都知道， 可以設(shè)直線PA PA2 的方程， 直線 PA1和橢圓交點(diǎn)是 A1(2,0)和 M， 通過韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn) M 的坐標(biāo) ，同理可以求出點(diǎn) N 的坐標(biāo) 。 動(dòng)點(diǎn) P 在直線 : ( 2)l x t t??上，相當(dāng)于知道了點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)了，由直線 PA PA2的方程可以求出 P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系， 通過所求的 M、 N 點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線 MN 的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的 t2，就可以了，否則就不存在。 解：（ I）由已知橢圓 C 的離心率 32ce a?? ， 2a? ,則得 3, 1cb??。 從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 10 由 122( 2)44y k xxy???? ??? 消 y 整理得 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ? 12 x?和 是方程的兩個(gè)根 ， 211 2116 42 14kx k??? ? ? 則 211 212814kx k?? ?， 11 21414ky k? ?， 即點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk???， 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2) , ( 2)ppy k t y k t? ? ? ? 12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦 點(diǎn)為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時(shí)， MN 過橢圓的焦點(diǎn)。 方法總結(jié) ： 本題由點(diǎn) A1(2,0)的橫坐標(biāo)－ 2是 方程 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ?的一個(gè)根， 結(jié)合 韋達(dá)定理 運(yùn)用同類坐標(biāo)變換， 得 到 點(diǎn) M的橫坐標(biāo)： 211 212814kx k?? ?， 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 11 再 利用直線 A1M的方程 通過 同點(diǎn)的 坐 標(biāo)變換，得 點(diǎn) M的縱坐標(biāo) ： 11 21414ky k? ?； 其 實(shí)由 222( 2)44y k xxy???? ??? 消 y 整理得 2 2 22 2 2( 1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ?， 得到222 2216 42 14kx k?? ?， 即 222 228214kx k?? ?， 22 22414ky k?? ?很快。 不過如果看到：將 211 2116 42 14kx k????中的 12kk用 換下來， 1x 前的系數(shù) 2用－ 2換下來，就得點(diǎn) N 的坐標(biāo) 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk????，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少 ， 這樣真容 易出錯(cuò)， 但這樣減少計(jì)算量 。 本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn) P 的雙重身份：點(diǎn) P 即在直線 1AM 上也在直線 A2N 上，進(jìn)而得到12122kkk k t? ??? ， 由 直 線 MN 的 方 程1 2 11 2 1y y y yx x x x??? 得直線與 x 軸的 交點(diǎn)，即橫截距 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點(diǎn) M、 N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)易得 4x t? ，由 4 3t ? 解出 433t? ，到此不要忘了考察 433t? 是 否滿足 2t? 。 另外：也可以直接設(shè) P(t， y0)，通過 A1， A2的坐標(biāo)寫出直線 PA1， PA2 的直線方程，再分別和橢圓聯(lián)立 ，通過韋達(dá)定理求出 M、 N 的坐標(biāo)，再寫出直線 MN 的方程。再過點(diǎn) F，求出 t值。 例題 （ 07 山東理） 已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3；最小值為 1； （Ⅰ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線 mkxyl ??： 與橢圓 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)（ A， B 不是左右頂點(diǎn)），且以AB 為直徑的圓過橢圓 C 的右頂點(diǎn) 。 求證：直線 l 過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 。 分析： 第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問， 直線 mkxyl ??： 與橢圓C 相交于 A， B 兩點(diǎn) ，并且橢圓的右頂點(diǎn)和 A、 B 的連線互相垂直，證明 直線 l 過定點(diǎn) ，就是通過垂直建立 k、 m 的一次函數(shù)關(guān)系。 溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 12 解 （ I） 由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 1( 0 )xy abab? ? ? ? 3, 1a c a c? ? ? ?， 22, 1, 3a c b? ? ? 22143xy? ? ? （ II） 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由223 4 12y kx mxy???? ??? 得 2 2 2( 3 4 ) 8 4( 3 ) 0k x m k x m? ? ? ? ?， 2 2 2 26 4 1 6 ( 3 4 ) ( 3 ) 0m k k m? ? ? ? ? ?， 223 4 0km? ? ? 21 2 1 2228 4 ( 3 ),3 4 3 4m k mx x x xkk ?? ? ? ? ???（ 注意： 這一步是同類坐標(biāo)變換） 22221 2 1 2 1 2 1 2 23 ( 4 )( ) ( ) ( ) 34mky y k x m k x m k x x m k x x m k?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 注意 ：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換） 以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) (2,0),D 且 1AD BDkk? ?? ， 1212 122yyxx? ? ? ???， 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x? ? ? ? ?， 2 2 22 2 23 ( 4 ) 4 ( 3 ) 1 6 403 4 3 4 3 4m k m m kk k k??? ? ? ?? ? ?， 227 16 4 0m mk k? ? ?，解得 12 22, 7km k m? ? ? ?，且滿足 223 4 0km? ? ? 當(dāng) 2mk?? 時(shí)， : ( 2)l y k x??，直線過定點(diǎn) (2,0), 與已知矛盾； 當(dāng) 27km?? 時(shí)， 2: ( )7l y k x??，直線過定點(diǎn) 2( ,0)7 綜上可知，直線 l 過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 2( ,0).7 名師經(jīng)驗(yàn)：在直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題中， 以弦為直徑的圓經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)，就是“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”，也就是定點(diǎn)和弦的兩端點(diǎn)連線互相垂直，得斜率之積為 1? ，建立等式。直線不溫新堂個(gè)性化一對(duì)一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 13 過定點(diǎn)，也不知道斜率，設(shè)出 mkxyl ??： ，是經(jīng)常用的一招，在第二講中就遇到了這樣設(shè)的直線。 練習(xí) ：直線 mkxyl ??： 和拋物線 2 2y px? 相交于 A、 B，以 AB 為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn)，證明：直線 mkxyl ??： 過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析： 以 AB 為直徑的圓過拋物線的頂點(diǎn) O，則 OA? OB，若設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，則1 2 1 2 0x x y y??，再通過 221 2 1 2 1 2