高考圓錐曲線壓軸題型總結(jié)(已修改)
2025-04-29 13:05 本頁(yè)面
【正文】 .. . . ..高考圓錐曲線壓軸題型總結(jié)直線與圓錐曲線相交，一般采取設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理，在這里我將這個(gè)問題分成了三種類型，其中第一種類型的變式比較多。而方程思想，函數(shù)思想在這里也用得多，兩種思想可以提供簡(jiǎn)單的思路，簡(jiǎn)單的說就是只需考慮未知數(shù)個(gè)數(shù)和條件個(gè)數(shù),。使用韋達(dá)定理時(shí)需注意成立的條件。題型4有關(guān)定點(diǎn)，定值問題。將與之無關(guān)的參數(shù)提取出來，再對(duì)其系數(shù)進(jìn)行處理。（湖北卷）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.（I）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ①設(shè)①的兩個(gè)不同的根， ②是線段AB的中點(diǎn)，得解得k=1，代入②得，12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)依題意，（II）解法1：代入橢圓方程，整理得 ③③的兩根，于是由弦長(zhǎng)公式可得 ④將直線AB的方程 ⑤同理可得 ⑥假設(shè)在在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑， ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角 ⑧由⑥式知，⑧式左邊=由④和⑦知，⑧式右邊= ∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓解法2：由（II）解法1及.代入橢圓方程，整理得 ③將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得 ?、萁猗酆廷菔娇傻? 不妨設(shè)∴計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.又B為A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）【點(diǎn)評(píng)】第一問可以作為直線與圓的知識(shí)點(diǎn)，第二問就作為函數(shù)思想算了，未知數(shù)一個(gè)嘛。（06遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,(I) 證明線段是圓的直徑。(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求P的值?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: ……..(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: ……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x2y+m=0到直線x2y=0的距離為,則因?yàn)閤2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x2y2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .(山東理)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，，，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（07湖南理）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．解：由條件知，設(shè)，．解法一：（I）設(shè)，則則，，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即．又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．將代入上式，化簡(jiǎn)得．當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．所以點(diǎn)的軌跡方程是．（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是．因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)．故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以．． 由①②③得．…………………………………………………④．……………………………………………………………………⑤當(dāng)時(shí)，由④⑤得，將其代入⑤有．整理得．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．故點(diǎn)的軌跡方程是．（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，．以上同解法一的（II）．是題型1簡(jiǎn)單類型，其實(shí)重點(diǎn)是一個(gè)有關(guān)定值問題。（07湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．（此題不要求在答題卡上畫圖）ABxyNCO19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxl則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．（2010江蘇
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1