高考圓錐曲線典型例題必考(已修改)
2025-04-29 12:54 本頁面
【正文】 1 橢 圓典例精析題型一 求橢圓的標準方程【例 1】已知點 P 在 以 坐 標 軸 為 對 稱 軸 的 橢 圓 上 ， 點 P 到 兩 焦 點 的 距 離 分 別 為 和4 53，過 P 作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程.253【解析】故所求方程為 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.x25 3y210 3x210 y25【點撥】(1)在求橢圓的標準方程時，常用待定系數(shù)法，但是當焦點所在坐標軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx 2＋ny 2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)；(2)在求橢圓中的 a、b、c 時，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識.【變式訓(xùn)練 1】已知橢圓 C1 的中心在原點、焦點在 x 軸上，拋物線 C2 的頂點在原點、焦點在 x 軸上.小明從曲線 C1，C 2 上各取若干個點( 每條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(x，y ).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓 C1 上，也不在拋物線 C2 ：據(jù)此，可推斷橢圓 C1 的方程為 . ＋ ＝1.x212 y26題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運用【例 2】已知 FF 2 是橢圓的兩個焦點，P 為橢圓上一點，∠F 1PF2＝60176。.(1)求橢圓離心率的范圍； (2)求證：△F 1PF2 的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).【解析】(1)e 的取值范圍是[ ，1).(2) 21FPS＝ mnsin 60176。＝ b2，12 12 33【點撥】橢圓中△F 1PF2 往往稱為焦點三角形，求解有關(guān)問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì)) 與不等式的聯(lián)合使用，如 |PF1||PF2|≤( )|PF1|＋ |PF2|22，|PF 1|≥a－c. 【變式訓(xùn)練 2】已知 P 是橢圓 ＋ ＝1 上的一點，Q，R 分別是圓(x＋4) 2＋y 2＝ 和圓x225 y29 142(x－4) 2＋y 2＝ 上的點，則|PQ|＋|PR| 的最小值是 .【解析】最小值為 9.14題型三 有關(guān)橢圓的綜合問題 【例 3】(2022 全國新課標)設(shè) F1，F(xiàn) 2 分別是橢圓 E： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過 F1 斜率x2a2 y2b2為 1 的直線 l 與 E 相交于 A， B 兩點，且 |AF2|，| AB|，| BF2|成等差數(shù)列.(1)求 E 的離心率；(2)設(shè)點 P(0，－1)滿足|PA|＝|PB| ，求 E 的方程.(1) .(2 )為 ＋ ＝1.22 x218 y29【變式訓(xùn)練 3】已知橢圓 ＋ ＝1(a＞b＞0) 的離心率為 e，兩焦點為 F1，F(xiàn) 2，拋物線以 F1 為頂點，x2a2 y2b2F2 為焦點，P 為兩曲線的一個交點，若 ＝e，則 e 的值是( )|PF1||PF2|A. B. C. D. 【解析】選 B32 33 22 63題型思 有關(guān)橢圓與直線綜合問題【例 4】 【2022 高考浙江理 21】如圖，橢圓 C： (a＞b＞0) 的離心率為 ，其左焦點到點 P(2，1)的2+1xy?12距離為 ．不過原點 O 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點，且線段 AB 被直線 OP 平分．10(Ⅰ)求橢圓 C 的方程；(Ⅱ) 求 ABP 的面積取最大時直線 l 的方程．?.3 【變式訓(xùn)練 4】 【2022 高考廣東理 20】在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢圓 C1： 的離心率 e= ，且橢圓 C 上的點到21(0)xyab???23Q（0，2）的距離的最大值為 3.（1）求橢圓 C 的方程；（2）在橢圓 C 上，是否存在點 M（m,n ）使得直線 ：mx+ny=1 與圓 O：x 2+y2=1 相交于不同的兩點lA、B，且△OAB 的面積最大？若存在，求出點 M 的坐標及相對應(yīng)的△OAB 的面積；若不存在，請說明理由．總結(jié)提高，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱且系數(shù)的幾何意義明確，定橢圓需要三個條件，要確定焦點在哪條坐標軸上(即定位 )，還要確定 a、 b 的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為 mx2＋ny 2＝1(m＞0，n＞0，m≠n) 求解.，一方面，會根據(jù)定義判定動點的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數(shù)進行計算推理.，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.練習1（2022 全國卷Ⅰ理）已知橢圓2:1xCy??的右焦點為 F,右準線為 l，點 Al?，線段 F交 C于點B，若 3FA???,則 |??=( )A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 選 A .2（2022 浙江文）已知橢圓 1(0)xyab???的左焦點為 F，右頂點為 ，點 B在橢圓上，且BFx?軸， 直線 AB交 軸于點 P．若 2AB??，則橢圓的離心率是（ ） A． 32 B． 2 C． 13 D． 12 【答案】D3.（2022 江西卷理）過橢圓21xyab??( 0?)的左焦點 1F作 x軸的垂線交橢圓于點 P， 2F為右焦點，若 1260FP???，則橢圓的離心率為4 A． 2 B． 3 C． 12 D． 13 【答案】B4.【2022 高考新課標理 4】設(shè) 12F是橢圓 的左、右焦點， 為直線 32ax?上2:(0)xyEab???P一點， 是底角為 30?的等腰三角形，則 的離心率為（ ）12PF? 【答案】C()A()B()C??()D??5【2022 高考四川理 15】橢圓 的左焦點為 ，直線 與橢圓相交于點 、 ，當2143xy??Fxm?AB的周長最大時， 的面積是____________。 【 答案】3FB?FA?6【2022 高
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