【正文】 第十章 圓錐曲線★知識網(wǎng)絡★橢圓雙曲線拋物線定義定義定義標準方程標準方程幾何性質幾何性質應用應用標準方程幾何性質應用圓錐曲線直線與圓錐曲線位置關系相交相切相離圓錐曲線的弦第1講 橢圓★知識梳理★1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面內與兩個定點的距離之和為常數(shù)的動點的軌跡叫橢圓,其中兩個定點叫橢圓的焦點.當時, 的軌跡為橢圓 。 。 當時, 的軌跡不存在。 當時, 的軌跡為 以為端點的線段（2）橢圓的第二定義:平面內到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實現(xiàn)橢圓上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化）.:標準方程性質參數(shù)關系焦點焦距范圍頂點對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率準線 :當時,點在橢圓外。 當時,點在橢圓內。 當時,點在橢圓上。直線與橢圓相交。直線與橢圓相切。直線與橢圓相離★重難點突破★重點:掌握橢圓的定義標準方程，會用定義和求橢圓的標準方程，能通過方程研究橢圓的幾何性質及其應用難點:橢圓的幾何元素與參數(shù)的轉換重難點:運用數(shù)形結合，圍繞“焦點三角形”，用代數(shù)方法研究橢圓的性質，把握幾何元素轉換成參數(shù)的關系問題1已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點若，則=______________。[解析]的周長為，=8問題2橢圓的離心率為，則 [解析]當焦點在軸上時，； 當焦點在軸上時，綜上或3★熱點考點題型探析★考點1 橢圓定義及標準方程 題型1:橢圓定義的運用[例1 ] (湖北部分重點中學2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是OxyDPABCQA．4a B．2(a－c) C．2(a+c) D．以上答案均有可能 [解析]按小球的運行路徑分三種情況:(1),此時小球經(jīng)過的路程為2(a－c)。(2), 此時小球經(jīng)過的路程為2(a+c)。(3)此時小球經(jīng)過的路程為4a,故選D【名師指引】考慮小球的運行路徑要全面【新題導練】1. （2007佛山南海）短軸長為，離心率的橢圓兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為 （ ） [解析]C. 長半軸a=3，△ABF2的周長為4a=122. (廣雅中學2008—2009學年度上學期期中考)已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（ ） A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 [解析]B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，的最小值為1012=7題型2 求橢圓的標準方程 [例2 ]設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為－4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關于參數(shù)的式子“描述”出來[解析]設橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c＝.【名師指引】準確把握圖形特征，正確轉化出參數(shù)的數(shù)量關系．［警示］易漏焦點在y軸上的情況．【新題導練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是____________.[解析](0,1). 橢圓方程化為+=1. 焦點在y軸上，則2，即k1.又k0，∴0k1. ,討論方程表示的曲線的形狀[解析]當時，方程表示焦點在y軸上的橢圓，當時，方程表示圓心在原點的圓，當時，方程表示焦點在x軸上的橢圓5. 橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，求這個橢圓方程.[解析] ，所求方程為+=1或+=1.考點2 橢圓的幾何性質 題型1:求橢圓的離心率（或范圍）[例3 ] 在中，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 ． 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率[解析] ，【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定（2）只要列出的齊次關系式，就能求出離心率（或范圍）（3）“焦點三角形”應給予足夠關注【新題導練】6. (執(zhí)信中學20082009學年度第一學期高三期中考試)如果一個橢圓的長軸長是短軸長的兩倍,那么這個橢圓的離心率為 . . . . [解析]選7. （江蘇鹽城市三星級高中2009屆第一協(xié)作片聯(lián)考）已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 [解析]由，橢圓的離心率為8. (山東濟寧2007—2008學年度高三第一階段質量檢測)我國于07年10月24日成功發(fā)射嫦娥一號衛(wèi)星，并經(jīng)四次變軌飛向月球。嫦娥一號繞地球運行的軌跡是以地球的地心為焦點的橢圓。若第一次變軌前衛(wèi)星的近地點到地心的距離為m，遠地點到地心的距離為n，第二次變軌后兩距離分別為2m、2n（近地點是指衛(wèi)星距離地面最近的點，遠地點是距離地面最遠的點），則第一次變軌前的橢圓的離心率比第二次變軌后的橢圓的離心率（ ）A．不變 B. 變小 C. 變大 [解析] ，選A題型2:橢圓的其他幾何性質的運用（范圍、對稱性等）[例4 ] 已知實數(shù)滿足,求的最大值與最小值【解題思路】 把看作的函數(shù) [解析] 由得,當時,取得最小值,當時,取得最大值6【名師指引】注意曲線的范圍，才能在求最值時不出差錯【新題導練】（，）上兩點,且,則= [解析] 由知點共線,因橢圓關于原點對稱,，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點則________________［解析］由橢圓的對稱性知： ．考點3 橢圓的最值問題題型: 動點在橢圓上運動時涉及的距離、面積的最值[例5 ]橢圓上的點到直線l:的距離的最小值為___________．【解題思路】把動點到直線的距離表示為某個變量的函數(shù) [解析]在橢圓上任取一點P,設P(). 那么點P到直線l的距離為：　　　【名師指引】也可以直接設點，用表示后，把動點到直線的距離表示為的函數(shù)，關鍵是要具有“函數(shù)思想”【新題導練】 [解析]設內接矩形的一個頂點為，矩形的面積12. 是橢圓上一點，、是橢圓的兩個焦點，求的最大值與最小值[解析] 當時，取得最大值，當時，取得最小值13. （2007惠州）已知點是橢圓上的在第一象限內的點，又、是原點，則四邊形的面積的最大值是_________．[解析] 設，則考點4 橢圓的綜合應用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題[例6 ] 已知橢圓的中心為坐標原點,一個長軸端點為,短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．（1）求橢圓方程；（2）求m的取值范圍．【解題思路】通過，溝通A、B兩點的坐標關系，再利用判別式和根與系數(shù)關系得到一個關于m的不等式[解析]（1）由題意可知橢圓為焦點在軸上的橢圓，可設由條件知且，又有，解得 故橢圓的離心率為，其標準方程為： （2）設l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0 （*）x1＋x2＝， x1x2＝　 ∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 m2＝時，上式不成立；m2≠時，k2＝，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝0，∴－1m－ 或 m1容易驗證k22m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1） 【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點之一，應充分重視向量的功能【新題導練】14. (2007廣州四校聯(lián)考)設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. [解析] ，選A.15. 如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90176。，AB=2，AC=。一曲線E過點C，動點P在曲線E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點。 （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，求曲線E的方程； （2）設直線l的斜率為k，若∠MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點O為原點建立直角坐標系，則A（－1，0），B（1，0）由題設可得∴動點P的軌跡方程為，則∴曲線E方程為（2）直線MN的方程為由∴方程有兩個不等的實數(shù)根∵∠MBN是鈍角即解得：又M、B、N三點不共線綜上所述，k的取值范圍是★～～搶分頻道★基礎鞏固訓練1. 如圖所示,橢圓中心在原點,F是左焦點,直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為( ) A B C D [解析] B . 2. （廣東省四校聯(lián)合體20072008學年度聯(lián)合考試）設FF2為橢圓+y2=1的兩焦點，P在橢圓上，當△F1PF2面積為1時，的值為A、0　　B、1　　C、2　　D、3[解析] A . ， P的縱坐標為，從而P的坐標為，0， 3. (廣東廣雅中學2008—