圓錐曲線的共軛直徑(已修改)
2025-08-06 00:15 本頁(yè)面
【正文】 山東高考解析幾何題的推廣及背景溯源2011年高考山東理科第22題，是一道以橢圓為背景考查定值問題、最值問題和存在性問題的解析幾何壓軸題，重點(diǎn)考查推理運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。本文筆者嘗試對(duì)該題的結(jié)論作一般化推廣，并對(duì)其背景作深度挖掘和溯源解析，與讀者交流。題目 已知直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，且面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)。（Ⅰ）證明和均為定值；（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（Ⅲ）橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得若存在判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由。一、推廣與簡(jiǎn)解可求得，的最大值為，筆者對(duì)此結(jié)論作一般化推廣可得橢圓有如下性質(zhì):性質(zhì) 已知直線與中心為的橢圓相交于，兩點(diǎn)，則（1）的面積最大值為，且當(dāng)時(shí)，有；（2）若線段的中點(diǎn)為，則的最大值為。簡(jiǎn)解（1）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，則，又，因三點(diǎn)共線，所以，所以，此即為直線的方程。故點(diǎn)到直線的距離為。所以。點(diǎn)評(píng) 常規(guī)解法是先對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為斜截式，與橢圓方程聯(lián)立組成方程組，然后利用根與系關(guān)系、弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式
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