撩起圓錐曲線的面紗(已修改)
2025-01-31 01:18 本頁面
【正文】 2022年 01月 圓的推廣 飛船軌道 為什么斜著切割一個圓柱得到的截線是一個橢圓呢？ 有關(guān)圓的某些定理在圓錐曲線中的推廣是什么樣的 ? 圓錐曲線在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著怎樣的角色 ? 斜切圓柱 “數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分 …… 應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用， ……數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造精神。 ” （ 《 標(biāo)準(zhǔn) 》 ） 追溯圓錐曲線的 起源 撩起圓錐 截線 的面紗 進(jìn)入 二次 曲線的世界 感知圓錐曲線在大自然中所扮演的 角色 領(lǐng)悟圓錐曲線中的對立統(tǒng)一 思想 撩起圓錐曲線的面紗 一、追溯圓錐曲線的起源 研究尺規(guī)作圖 倍立方問 題 : 作一個立方體使其體積為已知立方體體積的 2倍 古希臘數(shù)學(xué)家 Hippocrates (公元前 5世紀(jì) )轉(zhuǎn)化為 求 x， y滿足： 求 x, y 滿足： x2=ay, y2=2ax, xy=2a2 Plato派成員 Menaechmus(公元前 4世紀(jì) )—— 圓錐截線 Apollonius（公元前 260公元前 170） —— 《 圓錐截線論 》 a3 a x3=2a3 x=？ ayyxxa2??F2 PF1+PF2 P Q R =RQ=定值 二、撩起圓錐截線的面紗 F1 Γ1 Γ2 Γ 為什么圓柱的斜截面是橢圓呢？ 圓錐截線 π 設(shè)圓錐的軸截面頂角為 2β，截面π 與圓錐軸線 OO’的交角為 θ( 不過頂點(diǎn) O)截得圓錐截線為 Γ. Γ O PF+PF’=RQ常數(shù) O’ F P 當(dāng) βθ90o時，截線 Γ 是橢圓。 以 βθ90o情形為例 , β θ 類似圓柱截線的情形，可證： F’ Q R 準(zhǔn)線在哪里？ ?PMPFAXAK?NXKT作 Γ 1所在的平面 α ，平面 π 與 α 相交于直線 l . Σ Γ1 C π O F 準(zhǔn)線是 π 與 α 交線 l =e(常數(shù) ) M Γ K A X T T’ K’ N α P R l 以 βθ90o情形為例 90oβ ??coscos?90oθ β θ β θ 當(dāng) βθ90o 時， 截線 Γ為橢圓； 圓錐的不同截面 A A’ O θ β O’ 設(shè)截面 π 與圓錐軸線 OO’的交角為 θ. 當(dāng)截面 π 經(jīng)過圓錐頂點(diǎn) O時， …… 當(dāng)截面 π 不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn) O且 θ =90o時， …… 當(dāng)截面 π 不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn) 且θ≠90o時， …… 此時，圓錐的所有母線都和截面 π 相交 (即不平行 ) O O 90oθ 90oβ =e AXAK有 ： AK AX， 0 1 O F K’ K X A θ β O’ A’ 當(dāng) βθ90o 時， 截線 Γ為橢圓； =e AXAK有 ： AK = AX， = 1 90oθ 90oβ O F K’ K X A θ β O’ A’ 設(shè)截面 π 與圓錐軸線 OO’的交角為 θ. O A θ β O’ 當(dāng) θ= β時 ， 截線 Γ 為拋物線 。 此時，圓錐有唯一母線和截面 π 平行 . 平移使截面經(jīng)過頂點(diǎn)，則它和側(cè)面相切于一條母線 圓錐的不同截面 當(dāng) βθ90o 時， 截線 Γ為橢圓； 90oθ 90oβ =e AXAK有 ： AK AX
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