圓錐曲線專題(已修改)
2025-08-06 00:13 本頁面
【正文】 圓錐曲線的綜合問題直線和圓錐曲線問題解法的一般規(guī)律 “聯(lián)立方程求交點，根與系數(shù)的關(guān)系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”．【一】．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異的公共點．(2)從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷．＋By＋C＝0，圓錐曲線方程f(x，y)＝0.由，消元。如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.①若a＝0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行或重合．②若a≠0，設(shè)Δ＝b2－4ac.a．Δ ＞ 0時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點；b．Δ ＝ 0時，直線和圓錐曲線相切于一點；c．Δ ＜ 0時，直線和圓錐曲線沒有公共點．2.“點差法”的常見題型 求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題．必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式Δ0是否成立．3．直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2|＝ 或|P1P2|＝ .(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用軸上兩點間距離公式)．4．圓錐曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解．在橢圓＋＝1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝－；在雙曲線－＝1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝；在拋物線y2＝2px (p0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k＝.題型一 圓錐曲線中的范圍、最值問題 【例1】 已知拋物線C：y2＝4x，過點A(－1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，設(shè)＝λ.(1)若點P關(guān)于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．[思維啟迪](1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和λ的關(guān)系，然后求最值．解析：(1)證明 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λ＝λ，∴直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F.(2)解 由(1)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，yy＝16x1x2＝16，∵y1y20，∴y1y2＝4，＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)＝2＋4－12＝2－16，λ∈，λ＋∈，當λ＋＝，即λ＝時，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為.[探究提高]圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．變式訓(xùn)練1 (2012四川)如圖，動點M與兩定點 A(－1,0)、B(1,0)構(gòu)成△MAB，且直線MA、. (1)求軌跡C的方程．(2)設(shè)直線y＝x＋m(m0)與y軸相交于點P，與軌跡C相交于點Q，R，且|PQ||PR|.求的取值范圍．解 (1)設(shè)M的坐標為(x，y)，當x＝－1時，直線MA的斜率不存在；此時，MA的斜率為，MB的斜率為.由題意，有＝，4x2－y2－4＝0.故動點M的軌跡C的方程為4x2－y2－4＝0(x≠1且x≠－1)．(2)由消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.(*)對于方程(*)，其判別式Δ＝(－2m)2－43(－m2－4)＝16m2＋480，而當1或－1為方程(*)的根時，m的值為－1或1.結(jié)合題設(shè)(m0)可知，m0且m≠1.設(shè)Q、R的坐標分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，則xQ，xR為方程(*)的兩根．因為|PQ||PR|，所以|xQ||xR|，xQ＝，xR＝.所以＝＝＝1＋.此時1，且≠2，所以11＋3，且1＋≠，所以1＝3，且＝≠.綜上所述，的取值范圍是∪.題型二 圓錐曲線中的定點
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