圓錐曲線大題歸類(已修改)
2025-04-06 00:03 本頁(yè)面
【正文】 .. . . ..圓錐曲線大題歸類1． 定點(diǎn)問(wèn)題：＋y2＝1(a1)的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求橢圓C的方程；(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且＝0，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．[解析] (1)圓M的圓心為(3,1)，半徑r＝.由題意知A(0,1)，F(xiàn)(c,0)，直線AF的方程為＋y＝1，即x＋cy－c＝0，由直線AF與圓M相切，得＝，解得c2＝2，a2＝c2＋1＝3，故橢圓C的方程為＋y2＝1.(2)方法一：由＝0知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線AP的方程為y＝kx＋1，直線AQ的方程為y＝－x＋1.聯(lián)立整理得(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)∴直線l的斜率為＝，∴直線l的方程為y＝(x－)＋，即y＝x－.∴直線l過(guò)定點(diǎn)(0，－)．方法二：由＝0知AP⊥AQ，從而直線PQ與x軸不垂直，故可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t(t≠1)，聯(lián)立整理得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3(t2－1)＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)則(*)由Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)3(t2－1)0，得3k2t2－＝0，得＝(x1，y1－1)(x2，y2－1)＝(1＋k2)x1x2＋k(t－1)(x1＋x2)＋(t－1)2＝0，將(*)代入，得t＝－，∴直線l過(guò)定點(diǎn)(0，－)．：y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)F(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)．[解析] (1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(，t)，B(，－t)．因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為－，所以＝－，化簡(jiǎn)得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此時(shí)直線AB的方程為x＝8.②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立得化簡(jiǎn)得ky2－4y＋4b＝0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得yAyB＝，因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為－，所以＝－
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