【正文】 1 直線和圓錐曲線常考 題型 運用的知識： 中點坐標公式 ： 1 2 1 2,y22x x y yx ????，其中 ,xy是點 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 的中點坐標。 弦長 公式 ：若點 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， 在直線 ( 0)y kx b k? ? ? 上， 則 1 1 2 2y kx b y kx b? ? ? ?， ，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一， 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x k x k x k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 1 2(1 ) [ ( ) 4 ]k x x x x? ? ? ? 或者 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 221 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )A B x x y y x x y y y yk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 2 1 221(1 ) [ ( ) 4 ]y y y yk? ? ? ?。 兩條直線 1 1 1 2 2 2: , :l y k x b l y k x b? ? ? ?垂直：則 12 1kk?? 兩條直線垂直，則直線所在的向量 120vv?? 韋達定理：若一元二次方程 2 0 ( 0 )ax bx c a? ? ? ?有兩個不同的根 12,xx，則1 2 1 2,bcx x x xaa? ? ? ?。 常見的一些題型： 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 題型二：弦的垂直平分線問題 題型三：動弦過定 點的問題 題型四：過已知曲線上定點的弦的問題 題型五：共線向量問題 題型六：面積問題 題型七：弦或弦長為定值問題 題型八：角度問題 問題九：四點共線問題 問題十：范圍問題（本質(zhì)是函數(shù)問題） 問題十一、存在性問題：（存在點，存在直線 y=kx+m，存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、直角），四邊形（矩形、菱形、正方形），圓） 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 例題 已知直線 :1l y kx??與橢圓 22:14xyC m??始終有交點，求 m 的取值范圍 解：根據(jù)直線 :1l y kx??的方程可知，直線恒過定點（ 0， 1），橢圓 22:14xyC m??過動點 0 ), 4mm??（ ， 且 ，如果直線 :1l y kx??和橢圓 22:14xyC m??始終有交點，則 14mm??， 且 ，即 14mm??且 。 2 規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點： : 1 0 1l y kx? ? ? 過 定 點 （ ， ） : ( 1 ) 1l y k x? ? ? ?過 定 點 （ ， 0 ） : 2 ( 1 ) 1l y k x? ? ? ? ?過 定 點 （ ， 2 ） 題型二：弦的垂直平分線問題 例題 過點 T(1,0)作直線 l 與曲線 N ： 2yx? 交于 A、 B 兩點，在 x 軸上是否存在一點 E( 0x ,0)，使得 ABE? 是等邊三角形，若存在，求出 0x ；若不存在，請說明理由。 解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于 0。 設(shè)直線 : ( 1)l y k x??， 0k? ， 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y 。 由2( 1)y k xyx???? ?? 消 y 整理，得 2 2 2 2( 2 1) 0k x k x k? ? ? ? ① 由直線和拋物線交于兩點，得 2 2 4 2( 2 1 ) 4 4 1 0k k k? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 10 4k?? ② 由韋達定理，得： 212 221,kxx k ?? ? ? 121xx?。則線段 AB 的中點為 222 1 1( , )22kkk??。 線段的垂直平分線方程為： 221 1 1 2()22kyxk k k?? ? ? ?令 y=0,得0 21122x k??，則211( ,0)22E k ? ABE? 為正三角形， ?211( ,0)22E k ?到直線 AB 的距離 d 為 32 AB 。 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?2 2214 1k kk???212 kd k?? 22223 1 4 1122kkkkk??? ? ?解得 3913k?? 滿足 ② 式此時 0 53x? 。 題型三：動弦過定點的問題 例題 已知橢圓 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 32 ，且 在 x 軸上的頂點分別為 A1(2,0),A2(2,0)。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點 T,點 P 為直線 l 上異于點 T 的任一點，直線 PA1,PA2 分別與橢圓交于 M、 N 點，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論 3 解：（ I）由已知橢圓 C 的離心率 32ce a??， 2a? ,則得 3, 1cb??。從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )Mx y ， 22( , )Nx y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，由 122( 2)44y k xxy???? ??? 消 y整理得 2 2 21 2 1( 1 4 ) 1 6 1 6 4 0k x k x k? ? ? ? ?12 x?和 是方程的兩個根， 211 2116 42 14kx k??? ? ?則 211 212814kx k?? ?，11 21414ky k