【正文】 PF2 P Q R =RQ=定值 二、撩起圓錐截線的面紗 F1 Γ1 Γ2 Γ 為什么圓柱的斜截面是橢圓呢？ 圓錐截線 π 設圓錐的軸截面頂角為 2β，截面π 與圓錐軸線 OO’的交角為 θ( 不過頂點 O)截得圓錐截線為 Γ. Γ O PF+PF’=RQ常數 O’ F P 當 βθ90o時，截線 Γ 是橢圓。 F2 F1 F’ P l 自橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經橢圓反射后，反射線經過另一焦點。求證 MP=MQ. O M C D E F A B P Q 在圓中的蝴蝶定理 在圓錐曲線中的蝴蝶問題是怎樣的？ 蝴蝶定理欣賞 通過常態(tài)圓錐曲線（非退化的） Γ1的弦 AB的中點 M作另外兩條弦 CD和 C, D, E, F作一條圓錐曲線 Γ，交 AB于 P、 Q, 證明 MP =MQ. Γ1 B A M Γ Q P C D E F 1981年， K. Satyanarayana在 《 數學難題 》 上發(fā)表了他的論文“ A simple proof of the butterfly problem”，其中給出了這個蝴蝶問題在常態(tài)圓錐曲線中的推廣和簡潔優(yōu)美的證明。 Kepler（ 15711630） —— 行星運動三定律開創(chuàng)了天文學的新紀元 …第一定律：行星繞太陽運行的軌道，是以太陽為其一焦點的橢圓 … Newton（ 16421727) Newton（ 16421727) —— (1687)《 數學的自然哲學原理 》 提出萬有引力定律，解釋了為何月亮繞著地球、地球和其他行星繞著太陽都沿著橢圓軌道運行 . 行星運動 太陽系的今天 約 46億年前，地球和月球以及太陽系的其他天體先后形成，終于有了今天的模樣。 Descartes(15961650)、 Fermat(16011665) ——解析幾何學 任何二次曲線也是圓錐截線嗎？ Euler (17071783)——在 《 分析引論 》 中對二次曲線分類 設同一條二次曲線在兩個平面直角坐標系中的方程分別為 ： xOy ： Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 x’O’y’ ： A’x’2+B’x’y’+C’y’2+2D’x’+2E’y’+F’=0 它們的系數在保距坐標變換（平移和旋轉組成）之下具有下述三個基本不變量： H=A+C=A’+C’=H’ δ=B2AC =B’2A’C’=δ’ ? ??????????????FEDECBDBAFEDECBDBA二次曲線分類 (含退化 ) Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 δ≠0 δ=0 平移 轉軸 如， B=C=0 A*x2+B*xy+C*y2+F*=0 A*x2+2D*x+2E*y+F*=0 A’x’2+C’y’2+F’=0 A’x’2+2E’y’+F’=0 平移 轉軸 轉軸變換可以消去 xy項，即，使得 B*=0 平移變換可以消去一次項，即，可使得 D=0, E=0 圓 、 橢圓 (含虛 ) 一 點 雙曲線 二相交直線 拋物線 兩平行線 兩重合直線 (含虛 ) 按照 △ ≠0 和 △ =0分類 δ=B 2AC 有心二次曲線 無心二次曲線 圓錐曲線 應用 1 證明 ： 函數 (km≠0)圖像表示的曲線是雙曲線 . xmkxy ??