撩起圓錐曲線的面紗-閱讀頁(yè)
2025-02-03 01:18本頁(yè)面
【正文】 型 . 四、感知圓錐曲線在大自然中所扮演的角色 Copernicus (14731543)—— 《 天體運(yùn)行論 》 .日心說(shuō)，圓周運(yùn)動(dòng) . Copernicus的宇宙模型 太 陽(yáng) 金 星 水 星 地 球 木 星 土 星 火 星 固定恒星 月 亮 Galileo (15641642) 1609年， Galileo用望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)木星有幾個(gè)繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)的小衛(wèi)星，標(biāo)志著并不是所有的東西都必須直接繞著地球轉(zhuǎn)，這使得 Aristotle和Ptolemy的地心說(shuō)宇宙理論從此宣告死亡。 地球 彗星因其速度不同，其運(yùn)行軌道可能是橢圓、拋物線和雙曲線。 歐洲學(xué)術(shù)界一致地接受了 Newton的理論 … 五、領(lǐng)悟圓錐曲線中的對(duì)立統(tǒng)一思想 Apollonius在同一個(gè)圓錐上，通過(guò)改變截面的位置產(chǎn)生出截然不同的三種曲線。 三種曲線分別具有不同的光學(xué)性質(zhì)，它們?nèi)绾蔚玫浇y(tǒng)一解釋?zhuān)? Kepler認(rèn)為拋物線有一個(gè)看不見(jiàn)的焦點(diǎn)，它在無(wú)窮遠(yuǎn) … 如何理解？ 延長(zhǎng) F1P到 F’使得PF’=PF2 作 ∠ F’PF2的角平分線 l, 則 l 就是圓錐曲線在點(diǎn) P處的 切線 。 M （ 1）橢圓的光學(xué)性質(zhì) 如何解釋圓錐曲線 的光學(xué)性質(zhì)？ 1 2 3 圓錐曲線切線作法之一 對(duì) M∈ l， 有 MF1+MF2≥PF1+PF2 F 自焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后，反射線平行于對(duì)稱(chēng)軸。 (2)拋物線的光學(xué)性質(zhì) 1 2 如何解釋圓錐曲線 的光學(xué)性質(zhì)？ F2 l （ 3）雙曲線的光學(xué)性質(zhì) 自雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射線所在直線經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)。 F1 P 1 2 3 圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)動(dòng)態(tài)描述 對(duì)立統(tǒng)一觀點(diǎn)下的圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)描述： 自一個(gè)焦點(diǎn) F1出發(fā)的光線經(jīng)過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn) P反射后，反射線所在直線必定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn) F2（包括焦點(diǎn) F2是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況）。 F 分析： 如圖拋物線情況， |P’A|+|P’F| Q Q’ ≥|AQ| =|PA|+|PF| 自點(diǎn) F出發(fā)的光線，遇到圓錐曲線上的點(diǎn)P反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) A. =|P’A|+|P’Q’| P’ A P F’ F A P P’ F F’ A P’ P 如圖，在圓錐曲線上求一點(diǎn) P, 使得 |PF|+|PA|最小。弦 CD和EF通過(guò)點(diǎn) M, CF 、 ED與 AB分別交于點(diǎn) P、Q。 蝴蝶定理欣賞 Γ1 B A M Γ Q P C D E F x 取 AB為 x軸， M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 xMy. 設(shè) A(a, 0), B(a, 0), a0. 因?yàn)橹本€ CD、 EF都經(jīng)過(guò)原點(diǎn) M，所以可設(shè)這兩直線所確定的退化的圓錐曲線方程為： f1(x, y)=ax2+2hxy+by2 圓錐曲線 Γ1方程為： f2(x, y)=Ax2+2Hxy+By2+2Gx+2Fy+C=0 將點(diǎn) A、 B坐標(biāo)代入上得 G=0 所以可設(shè)經(jīng)過(guò) C、 D、 E、 F的圓 錐曲線 Γ方程為： f(x, y)=kf1(x, y)+mf2(x, y), k, m不全為 0 即：圓錐曲線 Γ方程為： f(x, y)=kAx2+2kHxy+kBy2+2kFy+kC+max2+2mhxy+mby2=0 P、 Q橫坐標(biāo)是關(guān)于 x的方程： f(x, 0)=kAx2+kC+max2=0 的兩個(gè)根。 圓錐曲線系欣賞 Thanks for listening
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