撩起圓錐曲線的面紗-文庫吧資料
2025-01-25 01:18本頁面
【正文】 與推廣 在圓錐曲線中有“垂徑定理”嗎？ A B C D Q P O M k k’ 動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)： 圓 O中，斜率為 k的平行動(dòng)弦PQ的中點(diǎn) M的軌跡是一條斜率為 k’的經(jīng)過圓心 O的弦 CD, 且有 kk’ = 1 垂徑定理 圓錐曲線的 “ 垂徑定理 ” 圓錐曲線中，斜率為 k的平行 弦中點(diǎn)軌跡 是 . x2+y2=e2(x+p)2 kk’= e21 O A B k C D k’ P Q M(x0 , y0) 弦 AB和 CD叫做圓錐曲線的一對共軛直徑 已知圓錐曲線的離心率為 e, 焦準(zhǔn)距為 p，取焦點(diǎn)F為原點(diǎn)，經(jīng)過焦點(diǎn) F且與準(zhǔn)線 l平行的直線為 y軸建立直角坐標(biāo)系 . 若軌跡所在直線的斜率為 k’ ，則 . x+ky=e2(x+p) （在圓錐曲線內(nèi)部） 若焦點(diǎn)在 y軸上，準(zhǔn)線垂直于 x軸 . 則 . kk’=( e21)1 應(yīng)用 4 設(shè) A、 B是橢圓 3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn) N(1， 3)是線段 AB的中點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與橢圓相交于 C、 D兩點(diǎn) .確定 λ的取值范圍，并求直線 AB的方程 . A N x y B O C D S T 分析 ：橢圓平行弦 AB(設(shè)斜率為 k)中點(diǎn)軌跡是經(jīng)過中心且在橢圓內(nèi)部的一條線段 ST（設(shè)其斜率為 k’） , 設(shè) f(x, y)=3x2+y2λ, 則 k’=3, e2=2/3, f (1, 3)0 所以， λ12， AB： y3= (x1) 由“垂徑定理” k k’= (e21)1, 得 k=1 蝴蝶定理欣賞 在圓 O中， M是弦 AB的中點(diǎn)。 準(zhǔn)線 應(yīng)用 2 已知 F是圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)， A為其內(nèi)部一個(gè)定點(diǎn)，在該曲線上求一點(diǎn) P, 使得 |PF|+|PA|最小。 對雙曲線上任一點(diǎn)P，作 ∠ F1PF2的角平分線 l,則 l 就是雙曲線在點(diǎn) P處的 切線 。 P l 準(zhǔn)線 如何解釋圓錐曲線 的光學(xué)性質(zhì)？ Q 作 ∠ FPQ的角平分線 l， 則 l 就是拋物線在點(diǎn) P處的 切線。 F2 F1 F’ P l 自橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后，反射線經(jīng)過另一焦點(diǎn)。 三種曲線具有不同的離心率 0e e= e1，因而形狀不同 , 但是圓錐曲線具有統(tǒng)一方程。 (16561742) 1705年大膽地預(yù)言1682年的那顆彗星以 75年或 76年為周期重復(fù)出現(xiàn) . 這預(yù)言被驗(yàn)證于1759年再度轉(zhuǎn)回來 . 這顆彗星的軌道是一個(gè)很長的橢圓，而不是拋物線 … 圓錐曲線是大自然行星運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律之一 . 1835年、 1910年和1986年再次看到 Halley彗星。 Kepler（ 15711630） —— 行星運(yùn)動(dòng)三定律開創(chuàng)了天文學(xué)的新紀(jì)元 …第一定律：行星繞太陽運(yùn)行的軌道，是以太陽為其一焦點(diǎn)的橢圓 … Newton（ 16421727) Newton（ 16421727) —— (1687)《 數(shù)學(xué)的自然哲學(xué)原理 》 提出萬有引力定律，解釋了為何月亮繞著地球、地球和其他行星繞著太陽都沿著橢圓軌道運(yùn)行 . 行星運(yùn)動(dòng) 太陽系的今天 約 46億年前，地球和月球以及太陽系的其他天體先后形成，終于有了今天的模樣。 三、進(jìn)入二次曲線的世界 幾個(gè)點(diǎn)確定一條圓錐曲線？ B1 B2 B3 A3 A1 A2 P 圖中的三對直線的交點(diǎn) P, Q, R共線 Q R
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