撩起圓錐曲線的面紗(完整版)
【正文】 求 x, y 滿足： x2=ay, y2=2ax, xy=2a2 Plato派成員 Menaechmus(公元前 4世紀(jì) )—— 圓錐截線 Apollonius（公元前 260公元前 170） —— 《 圓錐截線論 》 a3 a x3=2a3 x=？ ayyxxa2??F2 PF1+PF2 P Q R =RQ=定值 二、撩起圓錐截線的面紗 F1 Γ1 Γ2 Γ 為什么圓柱的斜截面是橢圓呢？ 圓錐截線 π 設(shè)圓錐的軸截面頂角為 2β，截面π 與圓錐軸線 OO’的交角為 θ( 不過(guò)頂點(diǎn) O)截得圓錐截線為 Γ. Γ O PF+PF’=RQ常數(shù) O’ F P 當(dāng) βθ90o時(shí)，截線 Γ 是橢圓。 地球 彗星因其速度不同，其運(yùn)行軌道可能是橢圓、拋物線和雙曲線。 (2)拋物線的光學(xué)性質(zhì) 1 2 如何解釋圓錐曲線 的光學(xué)性質(zhì)？ F2 l （ 3）雙曲線的光學(xué)性質(zhì) 自雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射線所在直線經(jīng)過(guò)另一焦點(diǎn)。 蝴蝶定理欣賞 Γ1 B A M Γ Q P C D E F x 取 AB為 x軸， M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 xMy. 設(shè) A(a, 0), B(a, 0), a0. 因?yàn)橹本€ CD、 EF都經(jīng)過(guò)原點(diǎn) M，所以可設(shè)這兩直線所確定的退化的圓錐曲線方程為： f1(x, y)=ax2+2hxy+by2 圓錐曲線 Γ1方程為： f2(x, y)=Ax2+2Hxy+By2+2Gx+2Fy+C=0 將點(diǎn) A、 B坐標(biāo)代入上得 G=0 所以可設(shè)經(jīng)過(guò) C、 D、 E、 F的圓 錐曲線 Γ方程為： f(x, y)=kf1(x, y)+mf2(x, y), k, m不全為 0 即：圓錐曲線 Γ方程為： f(x, y)=kAx2+2kHxy+kBy2+2kFy+kC+max2+2mhxy+mby2=0 P、 Q橫坐標(biāo)是關(guān)于 x的方程： f(x, 0)=kAx2+kC+max2=0 的兩個(gè)根。 F 分析： 如圖拋物線情況， |P’A|+|P’F| Q Q’ ≥|AQ| =|PA|+|PF| 自點(diǎn) F出發(fā)的光線，遇到圓錐曲線上的點(diǎn)P反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) A. =|P’A|+|P’Q’| P’ A P F’ F A P P’ F F’ A P’ P 如圖，在圓錐曲線上求一點(diǎn) P, 使得 |PF|+|PA|最小。 三種曲線分別具有不同的光學(xué)性質(zhì)，它們?nèi)绾蔚玫浇y(tǒng)一解釋？ Kepler認(rèn)為拋物線有一個(gè)看不見的焦點(diǎn)，它在無(wú)窮遠(yuǎn) … 如何理解？ 延長(zhǎng) F1P到 F’使得PF’=PF2 作 ∠ F’PF2的角平分線 l, 則 l 就是圓錐曲線在點(diǎn) P處的 切線 。 O β O’ A θ 平移使截面經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)，則它和側(cè)面相交于兩條母線 此時(shí)，圓錐有兩條母線和截面 π 平行 . 設(shè)截面 π 與圓錐軸線 OO’的交角為 θ. Pascal（ 16231662） 定理 A1, A2, A3, B1, B2, B3六個(gè)點(diǎn)在同一條圓錐曲線上的充要條件是： 。 以 βθ90o情形為例 , β θ 類似圓柱截線的情形，可證： F’ Q R 準(zhǔn)線在哪里？ ?PMPFAXAK?NXKT作 Γ 1所在的平面 α ，平面 π 與 α 相交于直線 l .
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