撩起圓錐曲線的面紗(參考版)
2025-01-22 01:18本頁面
【正文】 顯然， xP+xQ=0, 所以 MP=MQ. 小結(jié) 追溯圓錐曲線的 起源 撩起圓錐 截線 的面紗 進(jìn)入 二次 曲線的世界 感知圓錐曲線在大自然中所扮演的 角色 領(lǐng)悟圓錐曲線中的對立統(tǒng)一 思想 結(jié)束語 不論從美學(xué)角度還是自然科學(xué)應(yīng)用角度看，圓錐曲線的性質(zhì)研究滲透著哲學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法，具有很高的教育價值，應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教育工作者帶領(lǐng)學(xué)生探究的樂園。求證 MP=MQ. O M C D E F A B P Q 在圓中的蝴蝶定理 在圓錐曲線中的蝴蝶問題是怎樣的？ 蝴蝶定理欣賞 通過常態(tài)圓錐曲線（非退化的） Γ1的弦 AB的中點 M作另外兩條弦 CD和 C, D, E, F作一條圓錐曲線 Γ，交 AB于 P、 Q, 證明 MP =MQ. Γ1 B A M Γ Q P C D E F 1981年， K. Satyanarayana在 《 數(shù)學(xué)難題 》 上發(fā)表了他的論文“ A simple proof of the butterfly problem”，其中給出了這個蝴蝶問題在常態(tài)圓錐曲線中的推廣和簡潔優(yōu)美的證明。 自點 A出發(fā)，逆著光線走，遇到圓錐曲線上的點 P就是所求的滿足條件的點 …… 舉一反三 F F2是雙曲線的焦點，實軸長為 2a, |F1F2|=2c, P是雙曲線上任意一點（不同于頂點）， △ PF1F2的內(nèi)切圓和實軸相切于點 A. 證明： A就是雙曲線的頂點之一 . P F1 O F2 A1 （ A） B C 應(yīng)用 3 引申 如圖， F F2是雙曲線的焦點，實軸長為 2a, |F1F2|=2c, P是雙曲線上任意一點（不同于頂點）， 設(shè) ∠ PF1F2=α, ∠ PF2F1=β(αβ)，證明離心率 e= acr??acacc o tt a n?????222?2? 分析：如圖， tan 2sin2sin??????P O F2 F1 A1 α β Cot = r rac?2s in2c os2c os2s in?????合、分比 … B C I ca c+a 舉一反三 A F1 F2 A C F1 F2 P F2 F1 A1 α β B C P C B 雙曲線 拋物線 P B I α β I 12c o s2c o s????????e)(s ins in??????????? 122e橢圓 e=1 投影觀點下的圓錐曲線統(tǒng)一性 O’ O A1 D A2 B1 B2 C E θ V Q P P’ Q’ 平行投影 P A B M P A B M O 圓 橢圓 從圓到圓錐曲線的類比與推廣 圓錐曲線的單側(cè)性： 設(shè)圓錐曲線的方程為 f(x, y)=0，則 P(x1,y1), Q(x2,y2)在圓錐曲線的同側(cè)充要條件是 f(x1, y1)f(x2 , y2)0 如，統(tǒng)一觀點下的圓錐曲線單側(cè)性 M L N F1 F2 + + + + + + f(x,y)0 f(x,y)0 + + + + + + f(x,y)0 f(x,y)0 直線和圓的單側(cè)性 從圓到圓錐曲線的類比與推廣 從圓到圓錐曲線的類比
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