撩起圓錐曲線的面紗-資料下載頁
2025-01-19 01:18本頁面
【正文】 . x2+y2=e2(x+p)2 kk’= e21 O A B k C D k’ P Q M(x0 , y0) 弦 AB和 CD叫做圓錐曲線的一對共軛直徑 已知圓錐曲線的離心率為 e, 焦準(zhǔn)距為 p，取焦點(diǎn)F為原點(diǎn)，經(jīng)過焦點(diǎn) F且與準(zhǔn)線 l平行的直線為 y軸建立直角坐標(biāo)系 . 若軌跡所在直線的斜率為 k’ ，則 . x+ky=e2(x+p) （在圓錐曲線內(nèi)部） 若焦點(diǎn)在 y軸上，準(zhǔn)線垂直于 x軸 . 則 . kk’=( e21)1 應(yīng)用 4 設(shè) A、 B是橢圓 3x2+y2=λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn) N(1， 3)是線段 AB的中點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與橢圓相交于 C、 D兩點(diǎn) .確定 λ的取值范圍，并求直線 AB的方程 . A N x y B O C D S T 分析 ：橢圓平行弦 AB(設(shè)斜率為 k)中點(diǎn)軌跡是經(jīng)過中心且在橢圓內(nèi)部的一條線段 ST（設(shè)其斜率為 k’） , 設(shè) f(x, y)=3x2+y2λ, 則 k’=3, e2=2/3, f (1, 3)0 所以， λ12， AB： y3= (x1) 由“垂徑定理” k k’= (e21)1, 得 k=1 蝴蝶定理欣賞 在圓 O中， M是弦 AB的中點(diǎn)。弦 CD和EF通過點(diǎn) M, CF 、 ED與 AB分別交于點(diǎn) P、Q。求證 MP=MQ. O M C D E F A B P Q 在圓中的蝴蝶定理 在圓錐曲線中的蝴蝶問題是怎樣的？ 蝴蝶定理欣賞 通過常態(tài)圓錐曲線（非退化的） Γ1的弦 AB的中點(diǎn) M作另外兩條弦 CD和 C, D, E, F作一條圓錐曲線 Γ，交 AB于 P、 Q, 證明 MP =MQ. Γ1 B A M Γ Q P C D E F 1981年， K. Satyanarayana在 《 數(shù)學(xué)難題 》 上發(fā)表了他的論文“ A simple proof of the butterfly problem”，其中給出了這個蝴蝶問題在常態(tài)圓錐曲線中的推廣和簡潔優(yōu)美的證明。 蝴蝶定理欣賞 Γ1 B A M Γ Q P C D E F x 取 AB為 x軸， M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系 xMy. 設(shè) A(a, 0), B(a, 0), a0. 因?yàn)橹本€ CD、 EF都經(jīng)過原點(diǎn) M，所以可設(shè)這兩直線所確定的退化的圓錐曲線方程為： f1(x, y)=ax2+2hxy+by2 圓錐曲線 Γ1方程為： f2(x, y)=Ax2+2Hxy+By2+2Gx+2Fy+C=0 將點(diǎn) A、 B坐標(biāo)代入上得 G=0 所以可設(shè)經(jīng)過 C、 D、 E、 F的圓 錐曲線 Γ方程為： f(x, y)=kf1(x, y)+mf2(x, y), k, m不全為 0 即：圓錐曲線 Γ方程為： f(x, y)=kAx2+2kHxy+kBy2+2kFy+kC+max2+2mhxy+mby2=0 P、 Q橫坐標(biāo)是關(guān)于 x的方程： f(x, 0)=kAx2+kC+max2=0 的兩個根。 顯然， xP+xQ=0, 所以 MP=MQ. 小結(jié) 追溯圓錐曲線的 起源 撩起圓錐 截線 的面紗 進(jìn)入 二次 曲線的世界 感知圓錐曲線在大自然中所扮演的 角色 領(lǐng)悟圓錐曲線中的對立統(tǒng)一 思想 結(jié)束語 不論從美學(xué)角度還是自然科學(xué)應(yīng)用角度看，圓錐曲線的性質(zhì)研究滲透著哲學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法，具有很高的教育價值，應(yīng)該成為我們數(shù)學(xué)教育工作者帶領(lǐng)學(xué)生探究的樂園。 圓錐曲線系欣賞 Thanks for listenin
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1