【正文】 2 k2 a2 b2=0,故x1+x2=因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2|AB|2,所以x21+y21+ x22+ y22( x2x1)2+(y2y1)2,得x1x2+ y1y20恒成立.x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x11) (x21)=(1+k2) x1x2k2(x1+x2)+ k2=(1+k2).由題意得（a2 a2 b2+b2）k2 a2 b20對kR恒成立.①當(dāng)a2 a2 b2+b20時(shí)，不合題意；②當(dāng)a2 a2 b2+b2=0時(shí)，a=。題型一：條件和結(jié)論可以直接或經(jīng)過轉(zhuǎn)化后可用兩根之和與兩根之積來處理1. 福建 直線，為平面上的動點(diǎn)，F(xiàn)(1,0)過作直線 的垂線，垂足為點(diǎn)，且．（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，已知，求的值；本小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力．滿分14分．PBQMFOAxy解法一：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得．（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：．設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故由，得：，整理得：，．解法二：（Ⅰ）由得：，2．所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）由已知，得．則：．…………①過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：．…………②由①②得：，即．2. (全國卷Ⅰ)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。設(shè)直線AB的方程未知數(shù)一個(gè)，利用N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，可消掉次未知數(shù)。1時(shí)=2，S=且S是以為自變量的增函數(shù)∴②當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=。 (05浙江) 17．如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動點(diǎn)，使∠F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示)．OF2F1A2A1PM解：（Ｉ）設(shè)橢圓方程為（），半焦距為c, 則,由題意，得 ,解得 故橢圓方程為（II）設(shè)P(當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 只需求的最大值即可。簡單的說就是看題目中未知數(shù)個(gè)數(shù)與條件個(gè)數(shù)。 故有：，化簡得：關(guān)于的方程有無窮多解，有： 21世紀(jì)教育網(wǎng) 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：21世紀(jì)教育網(wǎng) ，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等?！窘馕觥?本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（3，0）。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。（07湖北）在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．（此題不要求在答題卡上畫圖）ABxyNCO19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByx由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，NOACByxl則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．（2010江蘇卷）1（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: ……..(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: ……(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x2y+m=0到直線x2y=0的距離為,則因?yàn)閤2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x2y2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .(山東理)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（07湖南理）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的