【正文】 專題08 解鎖圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題一、解答題1．【陜西省榆林市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值；并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個(gè)頂點(diǎn)，可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算得 。設(shè)x軸上的定點(diǎn)為，可得，由定值可得需滿足，解得可得定點(diǎn)坐標(biāo)。解得?！鄼E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）證明：由題意設(shè)直線的方程為，由消去y整理得，設(shè)，要使其為定值，需滿足，解得.故定點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：解析幾何中定點(diǎn)問題的常見解法(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意．2．【四川省成都市第七中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期半期考】已知斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)與拋物線（為常數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，弦的長為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）。（2）直線過定點(diǎn)【解析】試題分析：（1）根據(jù)弦長公式即可求出答案；（2）由（1）可設(shè)，則，則；同理： .由在直線上（1）；由在直線上將（1）代入 （2）將（2）代入方程，即可得出直線過定點(diǎn)．（2）設(shè)，則，則即；同理： ；.由在直線上，即（1）；由在直線上將（1）代入 （2）將（2）代入方程，易得直線過定點(diǎn)3．【四川省成都市第七中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期半期考】已知拋物線過點(diǎn)， 是上一點(diǎn)，斜率為的直線交于不同兩點(diǎn)（不過點(diǎn)），且的重心的縱坐標(biāo)為.（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記直線的斜率分別為，求的值.【答案】（1）方程為。其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）【解析】試題分析。（1）將代入，得，可得拋物線的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，將它代入得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式以及的重心的縱坐標(biāo)，化簡可 的值；因?yàn)榈闹匦牡目v坐標(biāo)為，所以，所以，所以，所以，又.所以.4．已知橢圓的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求證： 為定值．【答案】(1) 。(2)詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓的幾何要素間的關(guān)系進(jìn)行求解；（Ⅱ）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行證明. （Ⅱ）由題意直線過點(diǎn)，且斜率存在，設(shè)方程為, 將代人得點(diǎn)坐標(biāo)為， 由，消元得， 設(shè)， ，則且， 方法一：因?yàn)椋? 同理，且與異號， 所以 . 所以， 為定值. 當(dāng)時(shí)，同理可得. 所以， 為定值. 同理，且與異號， 所以　 　　　　　　　　 　. 又當(dāng)直線與軸重合時(shí)， ， 所以， 為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的