【正文】 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 1 頁 共 63 頁 2022 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 —— 圓錐曲線 （ 2022 上海文數(shù)） 23（本題滿分 18分）本題共有 3個小題，第 1小題滿分 4分，第 2小題滿分 6分，第 3小題滿分 8分 . 已知橢圓 ? 的方程為 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?， (0, )Ab、 (0, )Bb? 和 ( ,0)Qa 為 ? 的三個頂點(diǎn) . （ 1）若點(diǎn) M 滿足 1 ()2AM AQ AB??，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 2）設(shè)直線 11:l y k x p??交橢圓 ? 于 C 、 D 兩點(diǎn)，交直線 22:l y k x? 于點(diǎn) E .若212 2bkk a? ??，證明： E 為 CD 的中點(diǎn)； （ 3）設(shè)點(diǎn) P 在橢圓 ? 內(nèi)且不在 x 軸上，如何構(gòu)作過 PQ 中點(diǎn) F 的直線 l ，使得 l 與橢圓 ? 的兩個交點(diǎn) 1P 、 2P 滿足 12PP PP PQ?? 12PP PP PQ??？令 10a? ， 5b? ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（ 8， 1），若橢圓 ? 上的點(diǎn) 1P 、 2P 滿足 12PP PP PQ??，求點(diǎn) 1P 、 2P 的坐標(biāo) . 解析： (1) ( , )22abM ?； (2) 由方程組 122221y kx pxyab????? ????，消 y 得方程 2 2 2 2 2 2 2 211( ) 2 ( ) 0a k b x a k px a p b? ? ? ? ?， 因?yàn)?直線 11:l y k x p??交橢圓 ? 于 C 、 D 兩點(diǎn)， 所以 ?0， 即 2 2 2 21 0a k b p? ? ?， 設(shè) C(x1,y1)、 D(x2,y2)， CD 中點(diǎn)坐標(biāo)為 (x0,y0)， 則21 2 10 2 2 2120 1 0 2 2 212x x a k pxa k bbpy k x pa k b? ?? ? ?????? ? ? ????， 由方程組 12y kx py k x???? ?? ，消 y 得方程 (k2?k1)x?p， 又因?yàn)?22 2 1bk ak??，所以2102 2 22 1 12202 2 21a k ppxxk k a k bbpy k x ya k b? ? ? ? ??????? ? ? ????， 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 2 頁 共 63 頁 故 E 為 CD 的中點(diǎn)； (3) 因?yàn)辄c(diǎn) P 在橢圓 Γ內(nèi)且不在 x 軸上，所以點(diǎn) F 在橢圓 Γ內(nèi)，可以求得直線 OF 的斜率 k2，由 12PP PP PQ??知 F 為 P1P2 的中點(diǎn)，根據(jù) (2)可得直線 l 的斜率 21 2 2bk ak??，從而得直線 l的方程． 1(1, )2F ? ，直線 OF 的斜率 2 12k ?? ，直線 l 的斜率 21 2212bk ak?? ? ， 解方程組221 121100 25yxxy? ?????? ????，消 y： x2?2x?48?0，解得 P1(?6,?4)、 P2(8,3)． （ 2022 湖南文數(shù)） 19.（本小題滿分 13 分） 為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川山上相距 8Km 的 A、 B 兩點(diǎn)各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過 A、 B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸，線段 AB 的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖 4）。考察范圍到 A、 B 兩點(diǎn)的距離之和不超過 10Km 的區(qū)域。 （ I） 求考察區(qū)域邊界曲線的方程： （ II） 如圖 4 所示，設(shè)線段 12PP 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動 ， 以后每年移動的距離為前一年的 2 倍。問：經(jīng)過多長時間，點(diǎn) A 恰好在冰川邊界線上？ 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 3 頁 共 63 頁 （ 2022 浙江理數(shù)） (21) （本題滿分 15 分）已知 m＞ 1，直線 2:02ml x my? ? ?，橢圓2 22:1xCym ??， 1, 2FF 分別為橢圓 C 的左、右焦點(diǎn) . （ Ⅰ ）當(dāng)直線 l 過右焦點(diǎn) 2F 時，求直線 l 的方程； （ Ⅱ ）設(shè)直線 l 與橢圓 C 交于 ,AB兩點(diǎn)， 12AFFV ， 12BFFV 的重心分別為 , O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍 . 解析： 本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （Ⅰ）解：因?yàn)橹本€ :l 2 02mx my? ? ? 經(jīng)過 22( 1,0)Fm? ， 所以 22 1 2mm ?? ,得 2 2m? ， 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 4 頁 共 63 頁 又因?yàn)?1m? ，所以 2m? ， 故直線 l 的方程為 22202xy? ? ?。 （Ⅱ）解：設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y。 由222221mx myx ym? ?????? ????，消去 x 得 222 1 04my m y? ? ? ? 則由 2228 ( 1 ) 8 04mmm? ? ? ? ? ? ? ?，知 2 8m? ， 且有 21 2 1 2 1,2 8 2mmy y y y? ? ? ? ?。 由于 12( , 0) , ( , 0) ,F c F c? ， 故 O 為 12FF 的中點(diǎn)， 由 2 , 2A G G O B H H O??， 可知 1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3x y x yGh 222 1 2 1 2( ) ( )99x x y yGH ???? 設(shè) M 是 GH 的中點(diǎn)，則 1 2 1 2( , )66x x y yM ??， 由題意可知 2,MO GH? 即 22221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4 [ ( ) ( ) ]6 6 9 9x x y y x x y y? ? ? ?? ? ? 即 1 2 1 2 0x x y y?? 而 221 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )mmx x y y m y m y y y? ? ? ? ? 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 5 頁 共 63 頁 22 1( 1 ( )82mm? ? ?） 所以 2 1 082m ?? 即 2 4m? 又因?yàn)?1m? 且 0?? 所以 12m??。 所以 m 的取值范圍是 (1,2) 。 （ 2022全國卷 2理數(shù)） （ 21）（本小題滿分 12分） 己知斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C： ? ?22 1 0 0xy abab?? ＞ ， ＞相交于 B、 D 兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為 ? ?1,3M ． （Ⅰ）求 C的離心率； （Ⅱ）設(shè) C的右頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F， 17DF BF ? ，證明：過 A、 B、 D三點(diǎn)的圓與x軸相切． 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì)，考查直線與圓的關(guān)系，既考查考生的基礎(chǔ)知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力 . 【參考答案】 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 6 頁 共 63 頁 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 7 頁 共 63 頁 【點(diǎn)評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目，命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定 . （ 2022陜西文數(shù)） 20.（本小題滿分 13分） （ Ⅰ ）求橢圓 C的方程； (Ⅱ )設(shè) n 為過原點(diǎn)的直線， l是與 n垂 直相交與點(diǎn) P，與橢圓相交于A,B 兩 點(diǎn) 的 直 線 立？若存在，求出直線 l的方程；并說出；若不存在，請說明理由。 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 8 頁 共 63 頁 （ 2022遼寧文數(shù)） （ 20）（本小題滿分 12分） 設(shè) 1F ， 2F 分別為橢圓 22:1xyC ab??( 0)ab?? 的左 、 右焦點(diǎn)，過 2F 的直線 l 與橢圓C 相交于 A ,B 兩點(diǎn)，直線 l 的傾斜角為 60 ， 1F 到直線 l 的距離為 23. （ Ⅰ ） 求橢圓 C的焦距； （ Ⅱ ） 如果 222AF FB? ,求橢圓 C的方程 . 解： （ Ⅰ ） 設(shè)焦距為 2c ，由已知可得 1F 到直線 l 的距離 3 2 3 , ??故 所以橢圓 C 的焦距為 4. （Ⅱ）設(shè) 1 1 2 2 1 2( , ) , ( , ) , 0 , 0 ,A x y B x y y y??由 題 意 知直線 l 的方程為 3( 2).yx?? 聯(lián)立 2 2 2 2 422223 ( 2 ) ,( 3 ) 4 3 3 0 .1yxa b y b y bxyab? ???? ? ? ?? ????得 解得 22122 2 2 23 ( 2 2 ) 3 ( 2 2 ),.33b a b ayya b a b? ? ? ????? 因?yàn)?2 2 1 22 , 2 .A F F B y y? ? ?所 以 即 222 2 2 23 ( 2 2 ) 3 ( 2 2 ) a b aa b a b? ? ????? 得 223. 4 , 5 .a a b b? ? ? ?而 所 以 故橢圓 C 的方程為 ?? （ 2022 遼寧理數(shù)） (20)（本小題滿分 12 分） 設(shè)橢圓 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 的直線與橢圓 C 相交于 A， B兩點(diǎn)，直線 l 的傾斜角為 60o, 2AF FB? . 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 9 頁 共 63 頁 (I) 求橢圓 C 的離心率； (II) 如果 |AB|=154 ，求橢圓 C 的方程 . 解： 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由題意知 1y ＜ 0， 2y ＞ 0. （Ⅰ）直線 l 的方程為 3( )y x c??，其中 22c a b??. 聯(lián)立 22223( ),1y x cxyab? ???? ????得 2 2 2 2 4( 3 ) 2 3 3 0a b y b c y b? ? ? ? 解得 22122 2 2 23 ( 2 ) 3 ( 2 ),33b c a b c ayya b a b? ? ? ????? 因?yàn)?2AF FB? ，所以 122yy?? . 即 222 2 2 23 ( 2 ) 3 ( 2 )233b c a b c aa b a b? ? ????? 得離心率 23ce a?? . …… 6 分 （Ⅱ）因?yàn)?111 3AB y y? ? ?，所以 2222 4 3 15343 abab???. 由 23ca? 得 53ba? .所以 5 1544a? ，得 a=3， 5b? . 橢圓 C 的方程為 22195xy??. …… 12 分 （ 2022 全國卷 2 文數(shù) ） （ 22）（本小題滿分 12 分） 已知斜率為 1 的直線 1 與雙曲線 C： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?相交于 B、 D 兩點(diǎn)，且 BD 的中點(diǎn)為 M（ ） （ Ⅰ ） （ Ⅰ ）求 C的離心率； （ Ⅱ ） （ Ⅱ ）設(shè) C的右頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F， |DF|178。 |BF|=17證明：過 A、 B、 D三點(diǎn)的圓與x軸相切。 【解析】本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知 識，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力。 （ 1）由直線過點(diǎn)（ 1， 3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于 BD兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（ 1，3），可利用直線與 雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出 A,B的關(guān)系式即求得離心率。 （ 2）利用離心率將條件 |FA||FB|=17，用含 A的代數(shù)式表示，即可求得 A，則 A點(diǎn)坐標(biāo)可得知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 10 頁 共 63 頁 （ 1， 0），由于 A在 X 軸上所以，只要證明 2AM=BD 即證得。 （ 2022江西理數(shù) ） 21. （本小題滿 分 12分） 設(shè)橢圓221 : 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?，拋物線 222 :C x by b??。 （ 1） 若 2C 經(jīng)過 1C 的兩個焦點(diǎn)，求 1C 的離心率； （ 2） 設(shè) A（ 0， b）， 5334Q??????，,又 M、 N 為 1C 與 2C 不在 y 軸上的兩個交點(diǎn)，若△ AMN的垂心為 34Bb??????0，且△ QMN 的重心在 2C 上，求橢圓 1C 和拋物線 2C 的