【正文】 )fx去最小值 1。 【命題意圖】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角形面積公式，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形以及運(yùn)算求解能力 . 【解題指導(dǎo)】（ 1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由 12cos 13A? 得 sinA 的值，再根據(jù) ABC? 面積公式得 156bc? ； 直接求數(shù)量積 ABAC .由余弦定理 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? ，代入已知條件 1cb??，及 156bc? 求 a 的值 . 解：由 12cos 13A? ，得 21 2 5s in 1 ( )1 3 1 3A ? ? ?. 又 1 sin 302 bc A? ，∴ 156bc? . （Ⅰ） 12c o s 1 5 6 1 4 413A B A C b c A? ? ? ? ?. （Ⅱ） 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 2 12( ) 2 ( 1 c o s ) 1 2 1 5 6 ( 1 ) 2 513c b b c A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 5a? . 【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)本題所給的條件及所要求的結(jié)論可知，需求 bc 的值，考慮已知 ABC? 的面積是 30， 12cos 13A? ，所以先求 sinA 的值，然后根據(jù)三角形面積公式得 bc 的值 .第二問中求 a 的值，根據(jù)第一問中的結(jié)論可知，直接利用余弦定理即可 . （ 2022 重慶文數(shù)） (18).(本小題滿分 13 分 ), (Ⅰ )小問 5分， (Ⅱ )小問 8分 .) 設(shè) ABC? 的內(nèi)角 A、 B、 C的對邊長分別為 a、 b、 c,且 3 2b +3 2c 3 2a =4 2 bc . (Ⅰ ) 求 sinA的值； (Ⅱ )求 2 s i n( ) s i n( )441 c os 2A B CA??? ? ?? 的值 . 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 49 頁 共 63 頁 （ 2022 浙江文數(shù)） （ 18）（本題滿分）在△ ABC 中，角 A， B， C 所對的邊分別為 a,b,c,設(shè) S 為△ ABC 的面積，滿足 2 2 23 ()4S a b c? ? ?。 ,D 是 BC 邊上的一點(diǎn)， AD=10,AC=14,DC=6，求 AB的長 . 解 在△ ADC中， AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 46 頁 共 63 頁 cos? 2 2 22AD DC ACAD DC??=1 0 0 3 6 1 9 6 12 1 0 6 2?? ???? , ?? ADC=120176。 分別與橢圓 159 22 ?? yx 聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到 123, 3xx?? ? ， 解得： 2223 (8 0 ) 4 0( , )8 0 8 0mmM ???、 2223 ( 2 0 ) 2 0( , )2 0 2 0mmN mm? ???。 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 37 頁 共 63 頁 （Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程； （Ⅱ）如圖 6 所示，設(shè)線段 P1P2,P2P3 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動 ,以后每年移動的距離為前一年的 2 倍，求冰川邊界線移動 到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間。 （ 2022 廣東理數(shù)） 20．（本小題滿分為 14 分） 一條雙曲線 2 2 12x y??的左、右頂點(diǎn)分別為 A1,A2，點(diǎn) 11( , )Px y ， 11( , )Qx y? 是雙曲線上不同的兩個(gè)動點(diǎn)。 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 16 頁 共 63 頁 （ 2022 山東文數(shù)） （ 22）（本小題滿分 14 分） 如圖，已知橢圓 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?過點(diǎn) . 2(1, )2 ，離心率為 22 ，左、右焦點(diǎn)分別為 1F 、 2F .點(diǎn) P 為直線 :2l x y?? 上且不在 x 軸上的任意 一點(diǎn)，直線 1PF 和 2PF 與橢圓的交點(diǎn)分別為 A 、 B 和 C 、 D ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . （ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ II）設(shè)直線 1PF 、 2PF 的斜線分別為 1k 、 2k . （ i）證明：12132kk??； （ ii）問直線 l 上是否存在點(diǎn) P ，使得直線 OA 、 OB 、 OC 、 OD 的斜率 OAk 、 OBk 、OCk 、 ODk 滿足 0O A O B O C O Dk k k k? ? ? ?？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 . 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 17 頁 共 63 頁 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 18 頁 共 63 頁 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 19 頁 共 63 頁 （ 2022北京文數(shù)） （ 19）（本 小題共 14 分） 已知橢圓 C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 ( 2,0)? ， ( 2,0) ，離心率是 63 ，直線 y=t橢圓 C交與不同的兩點(diǎn) M， N，以線段為直徑作圓 P,圓心為 P。 （ 1）由直線過點(diǎn)（ 1， 3）及斜率可得直線方程，直線與雙曲線交于 BD兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（ 1，3），可利用直線與 雙曲線消元后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出 A,B的關(guān)系式即求得離心率。 （ I） 求考察區(qū)域邊界曲線的方程： （ II） 如圖 4 所示，設(shè)線段 12PP 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動 ， 以后每年移動的距離為前一年的 2 倍。 （ 1）由已知橢圓焦點(diǎn) (c,0)在拋物線上，可得： 22cb? ，由 22 2 2 22 122, 22ca b c c ea? ? ? ? ? ?有。 （ I）解：因?yàn)辄c(diǎn) B 與 A( 1,1)? 關(guān)于原點(diǎn) O 對稱，所以點(diǎn) B 得坐標(biāo)為 (1, 1)? . 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (, )xy 由題意得 1 1 11 1 3yyxx?????? 化簡得 223 4( 1)x y x? ? ? ?. 故動點(diǎn) P 的軌跡方 程為 223 4( 1)x y x? ? ? ? （ II）解法一：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 00( , )xy ，點(diǎn) M ， N 得坐標(biāo)分別為 (3, )My ,(3, )Ny . 則直線 AP 的方程為 0011 ( 1)1yyxx ?? ? ?? ，直線 BP 的方程為 0011 ( 1)1yyxx ?? ? ?? 令 3x? 得 000431M yxy x??? ? ， 000231N yxy x??? ? . 于是 PMN 得面積 20 0 00 20| | ( 3 )1 | | ( 3 )2 | 1 |P M N M N x y xS y y x x??? ? ? ? ? 又直線 AB 的方程為 0xy??， | | 2 2AB? ， 點(diǎn) P 到直線 AB 的距離 00||2xyd ??. 于是 PAB 的面積 001 | | | |2PABS A B d x y? ? ? 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 21 頁 共 63 頁 當(dāng) PAB PMNSS? 時(shí)，得 20 0 000 20| | ( 3 )|| | 1 |x y xxy x???? ? 又 00| | 0xy??， 所以 20(3 )x? = 20| 1|x ? ，解得0 5| 3x?。 同理，由 2l 與 E 只有一個(gè)交點(diǎn)知， 22112 hk? ? ?，消去 2h 得 221 kk ?，即 2 1k? ，從而 221 2 3hk? ? ? ，即 3h? 。設(shè)過點(diǎn) T（ mt, ）的直線 TA、 TB 與橢圓分別交于點(diǎn) M ),( 11 yx 、 ),( 22 yxN ，其中m0, 0,0 21 ?? yy 。 若 12xx? ，則 2 10m? ，直線 MD 的斜率 22 224010802 4 0 3 40180MDmmmkm mm???? ???， 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 43 頁 共 63 頁 直線 ND 的斜率 22 222010203 60 40120NDmmmkm mm????? ???，得 MD NDkk? ，所以直線 MN 過 D 點(diǎn)。 （ 2022 遼寧理數(shù)） （ 17）（本小題滿分 12 分） 在△ ABC 中， a, b, c 分別為內(nèi)角 A, B, C 的對邊，且 2 si n ( 2 ) si n ( 2 ) si n .a A a c B c b C? ? ? ? （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）求 sin sinBC? 的最大值 . 解： （Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得 22 ( 2 ) ( 2 )a b c b c b c? ? ? ? 即 2 2 2a b c bc? ? ? 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 47 頁 共 63 頁 由余弦定理得 2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ? 故 1cos 2A?? ， A=120176。 （ 2022北京理數(shù)） （ 15） （本小題共 13 分） 已知函數(shù) (x)f 22 c os 2 si n 4 c osx x x? ? ?。 (Ⅰ )求 ABAC ； (Ⅱ )若 1cb??，求 a 的值。 6 b12=0 解得 b= 6 或 2 6 所以 b= 6 b= 6 c=4 或 c=4 （ 2022全國卷 2理數(shù)） （ 17）（本小題滿分 10分） ABC? 中， D 為邊 BC 上的一點(diǎn)， 33BD? ， 5sin 13B? ， 3cos 5ADC??，求 AD ． 【命 題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查考生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況 . 【參考答案】 由 cos∠ ADC= ＞ 0，知 B＜ . 由已知得 cosB= ， sin∠ ADC= . 從而 sin∠ BAD=sin（∠ ADCB） =sin∠ ADCcosBcos∠ ADCsinB= = . 由正弦定理得 ，所以 = . 【點(diǎn)評】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)，在高考試題中頻繁出現(xiàn) .這類題型難度比較低，一般出現(xiàn)在 17 或 18題，屬于送分題，估計(jì)以后這類題型仍 會保留，不會有太大改變 .解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?. （ 2022陜西文數(shù)） 17.（本小題滿分 12分） 在△ ABC中，已知 B=45176。 （ 3）點(diǎn) T 的坐標(biāo)為 (9, )m 直線 MTA 方程為： 030 9 3yxm??? ，即 ( 3)12myx??， 直線 NTB 方程為： 030 9 3yxm??? ，即 ( 3)6myx??。視冰川面為平面形，以過 A,B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸，線段 AB 的的垂直平分線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖 6）在直線 x=2 的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn) B 的距離不超過 655 km 區(qū)域；在直線 x=2 的左側(cè)，考察范圍為到 A,B 兩點(diǎn)的距離之和不超過 45km 區(qū)域。線段 AB 的垂直平分線為 y軸，于是 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 26 頁 共 63 頁 0 0 0( 2 , y ) , ( 2 , = 2Q A Q B y Q A Q B y? ? ? ?? ? ? ? ? ?） 由 4 ， 得 =2 （ 2）當(dāng) K 0? 時(shí)，線段 AB 的垂直平分線方程為 2222 1 8()1 4 1 4kkYxk k k? ? ??? 令 x=0，解得0 2614ky k? ? 由 0 1 1 0( 2 , y ) , ( ,Q A Q B x y y??? ? ? ? ? ） 21 0 1 0 2 2 2 22 ( 2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4k k k kQ A Q B x y y y k k k k?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?） = 42224 (1 6 1 5 1) 4(1 4 )kkk?? ??= 整理得 201 4 2 1 47 2 , =75k k y? ? ? ?故 所 以 綜上00 2 1 4= 2 2 = 5yy??或 （ 2022 廣東理數(shù)） 21．（本小題滿分 14 分） 設(shè) A( 11,xy),B( 22,xy)是平面直角坐標(biāo)系 xOy 上的兩點(diǎn)，先定義由點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一種折線距離 p(A,B)為 2 1 2 1( , ) | | | |P A B x x y y? ? ? ?. 知識改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來 第 27 頁 共 63 頁 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 1 2( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0x x x