微積分及其意義(已修改)
2025-08-17 06:33 本頁面
【正文】 導(dǎo)數(shù)和微分在書寫的形式有些區(qū)別，如y39。=f(x),則為導(dǎo)數(shù)，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函數(shù)，可以形象理解為是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。(x)dx，而其導(dǎo)數(shù)則為：y39。=f39。(x)。設(shè)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)），叫做函數(shù)f(x)的不定積分，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：若f39。(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)擴(kuò)展資料：設(shè)函數(shù)y = f(x)在x的鄰域內(nèi)有定義，x及x + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x + Δx) f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx)是比Δx高階的無窮?。ㄗⅲ簅讀作奧密克戎，希臘字母）那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x相應(yīng)于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數(shù)的微分是函數(shù)增量的主要部分，且是Δx的線性函數(shù)，故說函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部（△x→0）。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。(x)dx。函數(shù)因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。當(dāng)自變量X改變?yōu)閄+△X時，相應(yīng)地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+△X)，如果存在一個與△X無關(guān)的常數(shù)A，使f(X+△X)f(X)和A△X之差是△X→0關(guān)于△X的高階無窮小量，則稱A△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導(dǎo)等價。記A△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。微分概念是在解決直與曲的矛盾中產(chǎn)生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應(yīng)用就是函數(shù)的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數(shù)的數(shù)值計算結(jié)果作為本來函數(shù)的數(shù)值近似值，這就是運(yùn)用微分方法進(jìn)行近似計算的基本思想。積分發(fā)展的動力源自實(shí)際應(yīng)用中的需求。實(shí)際操作中，有時候可以用粗略的方式進(jìn)行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長寬高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學(xué)中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。勒貝格積分的出現(xiàn)源于概率論等理論中對更為不規(guī)則的函數(shù)的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數(shù)的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數(shù)能夠定義積分。同時，對于黎曼可積的函數(shù)，新積分的定義不應(yīng)當(dāng)與之沖突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。黎曼積分對初等函數(shù)和分段連續(xù)的函數(shù)定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實(shí)際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數(shù)曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區(qū)間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠“測量”更不規(guī)則的函數(shù)曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實(shí)空間中，一個區(qū)間A= [a,b] 的勒貝格測度μ(A)是區(qū)間的右端值減去左端值，b?a。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。在更復(fù)雜的情況下，積分的集合可以更加復(fù)雜，不再是區(qū)間，甚至不再是區(qū)間
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