三角形的格點(diǎn)(已修改)
2024-08-11 00:01 本頁(yè)面
【正文】 如果三角形的三個(gè)角的度數(shù)都是１０的整數(shù)倍，三角形內(nèi)一點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別連結(jié)后，得到的所有的角也都具有這個(gè)性質(zhì)，我們稱這樣的點(diǎn)為三角形中的格點(diǎn)．求解三角形中的格點(diǎn)問(wèn)題，常可利用對(duì)稱點(diǎn)．利用對(duì)稱點(diǎn)求解三角形中的格點(diǎn)問(wèn)題，方法簡(jiǎn)單易行，解法簡(jiǎn)潔巧妙，題面新穎有趣，是學(xué)生鞏固知識(shí)，培養(yǎng)能力，陶冶情操，提高素質(zhì)的寶貴資料．１ 證明對(duì)稱點(diǎn)常用的方法大家知道，把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱．兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫做對(duì)稱軸．根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的定義不難知道，欲證兩點(diǎn)Ｍ、Ｎ關(guān)于線段ＰＱ所在的直線對(duì)稱，只要證明ＭＰＱ≌ＮＰＱ即可．不過(guò)，在證明對(duì)稱時(shí)，只須擺明條件，而不必特別指明兩個(gè)三角形的全等關(guān)系．例１ 在ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０176。，∠ＡＣＢ＝２０176。，Ｍ為∠ＡＣＢ的平分線上一點(diǎn)，∠ＭＢＣ＝２０176。．求∠ＭＡＢ的度數(shù)．解：如圖１，設(shè)∠ＭＢＡ的平分線交ＡＣ于Ｄ，連ＤＭ． 圖 １顯然，ＢＭ平分∠ＤＢＣ，而ＣＭ平分∠ＤＣＢ，即Ｍ為△ＤＢＣ的內(nèi)心．可知∠ＭＤＢ＝∠MDC＝60176。．有∠ＡＤＢ＝６０176。＝∠ＭＤＢ．故點(diǎn)Ａ與點(diǎn)Ｍ關(guān)于ＢＤ對(duì)稱．則∠ＭＡＢ＝９０176。－∠ＤＢＡ＝７０176。．這里證得“點(diǎn)Ａ與點(diǎn)Ｍ關(guān)于ＢＤ對(duì)稱”是根據(jù)“角、邊、角”．例２ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝４０176。，Ｐ為形內(nèi)一點(diǎn)，∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０176。．求∠ＰＢＣ的度數(shù)． 解：如圖２，以ＡＣ為一邊在△ＡＢＣ外作正△ＤＡＣ．連ＤＰ．由∠ＰＣＡ＝∠ＰＡＣ＝２０176。，可知ＰＡ＝ＰＣ．有點(diǎn)Ａ與點(diǎn)Ｃ關(guān)于ＰＤ對(duì)稱．得∠ＰＤＡ＝ ∠ＡＤＣ＝３０176。．由∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝４０176。，可知ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ．易知∠ＰＡＤ＝８０176。＝∠ＰＡＢ，可知點(diǎn)Ｂ與點(diǎn)Ｄ關(guān)于ＰＡ對(duì)稱．有∠ＰＢＡ＝∠ＰＤＡ＝３０176。．則∠ＰＢＣ＝１０176。．這里證出“點(diǎn)Ａ與點(diǎn)Ｃ關(guān)于ＰＤ對(duì)稱”是根據(jù)“邊、邊、邊”，證出“點(diǎn)Ｂ與點(diǎn)Ｄ關(guān)于ＰＡ對(duì)稱”是根據(jù)“邊、角、邊”．綜上可知，證明兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于某線段所在直線對(duì)稱，是一件很容易做的事情．而且熟練以后，更可能節(jié)省些筆墨．明確了這一點(diǎn)，我們就要積極、主動(dòng)地創(chuàng)造條件，注意利用對(duì)稱點(diǎn)．２ 在哪些情況下應(yīng)想到使用對(duì)稱點(diǎn)三角形中的格點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常會(huì)給出或求證角平分線，這是使用對(duì)稱點(diǎn)的最方便的條件，換言之，在題目給出或求證角平分線時(shí)，要想到使用對(duì)稱點(diǎn)例３ 在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４０176。，∠ＡＣＢ＝３０176。，Ｐ為∠ＡＢＣ的平分線上一點(diǎn)，∠ＰＣＢ＝１０176。．求∠ＰＡＢ的度數(shù)．解：如圖３，在ＢＡ延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)Ｄ，使ＢＤ
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