【微積分】定積分的物理應(yīng)用(已修改)
2025-05-11 04:42 本頁(yè)面
【正文】 第九節(jié) 定積分的物理應(yīng)用 一、變力沿直線所作的功 設(shè)物體在連續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x ? a 移動(dòng)到 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行 , 求變力所做的功 . xa bx xx d?在其上所作的功元 素為 xxFW d)(d ?因此變力 F(x) 在區(qū)間 上所作的功為 ?? ba xxFW d)(例 1. 一個(gè)單 求電場(chǎng)力所作的功 . q?O ra br rr d?1? 1?解 : 當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn) r 時(shí) , 由 庫(kù)侖定律 電場(chǎng)力為 則功的元素為 rrqkW dd2?所求功為 ???????? rqk 1ab )11(baqk ??說明 : aqk?位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷 a 處移動(dòng)到 b 處 (a b) , 在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下 , S例 2. 求移動(dòng)過程中氣體壓力 O x解 : 由于氣體的膨脹 , 把容器中的一個(gè)面積為 S 的活塞從 點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖 ), 所作的功 . a b建立坐標(biāo)系如圖 . x xx d?由物理學(xué)知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即 功元素為 故作用在活塞上的 所求功為 力為 在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣體 , 例 3 一圓柱形蓄水池高為 5 米，底半徑為 3 米，池內(nèi)盛滿了水 . 問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多功？ 解 建立坐標(biāo)系如圖 xoxdxx?取 x 為積分變量， ]5,0[?x 5取任一小區(qū)間 ],[ dxxx ? ,這一薄層水的重力為 dxg 23????,9 xdxgdw ???xdxgw ???? 50 9功元素為 50229 ???????
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