經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分有理函數(shù)的積分(已修改)
2025-09-10 12:39 本頁(yè)面
【正文】 一、六個(gè)基本積分 二、待定系數(shù)法舉例 三、小結(jié) 第四節(jié) 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的定義： 兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為 有理函數(shù) . mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP?????????????11101110)()(??其中 m 、 n 都是非負(fù)整數(shù)； naaa , 10 ? 及mbbb , 10 ? 都是實(shí)數(shù)，并且 00 ?a ， 00 ?b . 一、六個(gè)基本積分 定義 假定分子與分母之間沒(méi)有公因式 ,)1( mn ?這有理函數(shù)是 真分式 ； ,)2( mn ?這有理函數(shù)是 假分式 ； 利用多項(xiàng)式除法 , 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和 . 例 1 123???xxx .112 ??? xx難點(diǎn) 將有理函數(shù)化為部分分式之和 . 理論上， 任何一個(gè)有理函數(shù) (真分式 )都可分為以下六個(gè)類型的基本積分的代數(shù)和 : d lnx x a Cxa ? ? ???1d1( ) ( 1 ) ( )nnx Cx a n x a ???? ? ??22d1 ar c t an()xx Caaxa ????1. 2. 3. )2( ?n4. 5. 6. 2222d1 l n ( )2xx x a Cxa ? ? ???2 2 2 2 1d1( ) 2 ( 1 ) ( )nnxx Cx a n x a ???? ? ??22d() nxxa??( 2)n ?( 2 )n ? 可用遞推法求出 （ 1）分母中若有因式 ，則分解后為 kax )( ?,)()( 121 ax Aax Aax A kkk ?????? ? ?有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律： 其中 kAAA , 21 ? 都是常數(shù) .特殊地： ,1?k 分解后為 。axA?※ 二、待定系數(shù)法舉例 （ 2）分母中若有因式 ，其中 kqpxx )( 2 ??則分解后為 042 ?? qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM kkkk ????????????? 21222211)()( ?其中 ii NM , 都是常數(shù) ),2,1( ki ?? .特殊地： ,1?k 分解后為 。2 qpxx NMx ?? ?真分式化為部分分式之和的 待定系數(shù)法 6532 ???xxx)3)(2(3????xxx ,32 ???? xBxA),2()3(3 ????? xBxAx?),23()(3 BAxBAx ???????????????,3)23(,1BABA ,65???????BA6532 ????xxx .3625?????xx例 1 2)1(1?xx,1)1( 2 ????? x Cx BxA)1()1()1(1 2 ????? xCxBxxA代入特殊值來(lái)確定系數(shù) CBA ,取 ,0?x 1?? A 取 ,1?x 1?? B取 ,2?x BA,并將 值代入 )1( 1??? C.11)1( 11 2 ????? xxx2)1( 1?? xx例 2 例 3 .1515221542xxx ??????)1)(21(12xx ??),21)(()1(1 2 xCBxxA ?????,)2()2(1 2 ACxCBxBA ?????????????????,1,02,02CACBBA,51,52,54 ????? CBA,121 2x CBxxA ? ????)1)(21(12xx ???整理得 例 4 求積分 21 d.( 1 ) xxx ??21 d( 1 ) xxx ?? 21 1 1 d1( 1 ) xxxx??? ? ??? ?????21 1 1d d d1( 1 )x x x
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