概率論與數(shù)理統(tǒng)計第18講(已修改)
2025-02-02 23:05 本頁面
【正文】 第 五 章 大 數(shù) 定 律 與 中 心 極 限 定 理 第一節(jié) 大數(shù)定律 一、問題的引入 二、基本定理 三、典型例題 四、小結 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究 隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性 的學科 . 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來 . 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現(xiàn)象 . 一、問題的引入 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究 . 極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種 : 與 大數(shù)定律 中心極限定理 下面我們先介紹大數(shù)定律 大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景 大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率 字母使用頻率 生產(chǎn)過程中 的廢品率 …… 問題： 測量一個工件時，由于測量具有誤差， 為 什么 以各次的平均值來作為測量的結果？而且只 要測量的次數(shù)足夠多，總可以達到要求的精度？ 把這問題給出數(shù)學表達： ,nn ?次測量誤差為第 ? ?就是一個獨立同分布，則 ?的隨機變量序列。均值為 0 ,nn aXn ???次測量值就是第? ? 的隨機變量序列。就是均值為 aX n這里反映了什么樣的客觀統(tǒng)計規(guī)律呢？ ,a如果工件的真值為 即大量測量值的算術平均值具有穩(wěn)定性 。 這就是大數(shù)定律所闡述的。 次的平均測量值充分大時，當 nn)(1 1 nXXnX ???很接近。應該和真值 a測量的經(jīng)驗就是： ,1}|{|l i m ????? ?aYP nn若對任意 是一個常數(shù)；是隨機變量序列，設 aYY n ?? ,1，有0??,0}|{|lim ????? ?aYP nn或記為依概率收斂于則稱 ,1 aYY n ??.aY Pn ? ??想想： 數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機變量 序列收斂性的區(qū)別。 定義： ).,(),( bagYXg Pnn ? ??則性質： ，若 aX Pn ? ?? .bY Pn ? ??連續(xù)，在點又函數(shù) ),(),( bayxg回憶數(shù)列的性質，比較它們的相似和不同性。 二、基本定理 定理 1（ 契比雪夫大數(shù)定律 ） )( 大數(shù)定律C h e b y s h e v 且具有相同的數(shù)學 期望及方差， 相互獨立，設隨機變量 ?? nXX ,1,2,1, 2 ???? kDXEX kk ??,1}|1{|lim1?????????nkkn XnP.0}|1{|l i m1?????????nkkn XnP或0? ?任意的 有則對于 由切比雪夫不等式得： }|1{|1?? ????nkkXnP證明： ???nkkEXn1)(1???nkkXnE1)1( ???nkn 1)(1 ? ????nkkDXn12 )(1???nkkXnD1)1( ???nkn 122 )(1 ?n2?22??n?22 /}|{| ???? ???XP.0}|1{|l i m1?????????nkkn XnP或所以 .|)(1|, ,0, , ,}|)(1{|11成立的概率很小等式不充分大時當即對于任意正數(shù)時這個事件的概率趨于當明等式表是一個隨機事件?????????????niiniiXEnXnnXEnX關于定理 1的說明 : 11lim { | | } 0 .nknkPXn ???? ?? ? ??11{ | | }nkkXn ??????11||nkkXn ??????關于定理 1的說明 : 11lim { | | } 0 .nknkPXn ???? ?? ? ??.)(11, , , 1121ininiinXEnXnXXXn????值的算術平均接近于它們的數(shù)學期望均的算術平隨機變量很大時當 ?（這個接近是概率意義下的接近） 即在定理條件下 , n個隨
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