概率論與數(shù)理統(tǒng)計第18講(已改無錯字)
2023-02-21 23:05:16 本頁面
【正文】 n?? ?????),10(),2,1)(,(~ ??? pnpnBn ??設(shè)隨機(jī)變量充分大時，有則當(dāng) n 例 1 在每組射擊中，命中目標(biāo)的炮彈數(shù)的數(shù)學(xué) 期望為 2 ，均方差為 ，求在 100 組射擊中由 180 到 220 發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率。 設(shè) Xi 表示第 i 組命中目標(biāo)的炮彈數(shù) .1 0 0,2,1 ????i解 由題設(shè) ? ? ? ?.,2 2?? ii XDXE)1,0(~1520020010011001100 NXXY iiii ?????????近似 則 y ? ?? ? ? ? .8 1 6 1520222015200152022801001001??????????????????????????????YPXPii???????? ?? ??2202201001iiXP于是 y 例 2: 在一家保險公司里有 10000個人參加壽命保險，每人每年付 12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為 %，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得 1000元，問： (1)保險公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于 60000元的概率至少為 ,賠償金至多可設(shè)為多少？ y 解 : 設(shè) X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則 X~B(n, p), 其中 n= 10000， p=%， 設(shè) Y 表示保險公司一年的利潤， Y=10000?121000X 于是 由中心極限定理 (1)P{Y0}=P{10000?121000X0} =1?P{X?120} ?1 ? ?()=0。 y }60000{ ??YPP{Y60000}=P{10000?12aX60000} =P{X?60000/a}?。 )60000( ?????a?（ 2） 設(shè)賠償金為 a 元，則令 3 0 1 7?? a由中心極限定理 ,上式等價于 y 例 3:在一個罐子中 ,裝有 10個編號為 09的同樣 的球 , 從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一 個 , 并記下號碼 . (1)至少應(yīng)取球多少次才能使“ 0”出現(xiàn)的頻率在 ? (2) 用中心極限定理計算在 100次抽取中 ,數(shù)碼“ 0” 出現(xiàn)次數(shù)在 7和 13之間的概率 . ????否則次取到號碼第001 kX k設(shè) ， k=1,2, …, n 10~,0. 1 0. 9kX?????? 諸 Xk 獨立同分布 . y 解 ：設(shè)應(yīng)取球 n次， 0出現(xiàn)頻率為 11 nkkXn??11( ) ,nkkEXn???11 0. 09()nkkDXnn???11nkkXnn???由中心極限定理 近似 N(0,1) (1) 11{ 0 .0 9 0 .1 1 }nkkPX n????11{ | 0. 1 | 0. 01 }nkkPXn?? ? ??11{ | | }nkkXnnPn?????2 ( ) 130n? ? ?y 2 ( ) 1 0. 9530n? ? ?欲使 ( ) 30n??即 30n ?查表得 從中解得 3458n ?即至少應(yīng)取球 3458次才能使“ 0”出現(xiàn)的頻率在 概率至少是 . 解 : 在 100次抽取中 , 數(shù)碼“ 0”出現(xiàn)次數(shù)為 1001kkX??由中心極限定理 , 1 0 0 1 0 0111001()()kkkkkkX E XDX???????近似 N(0,1) (2) y 1001103kkX???即 近似 N(0,1) E(Xk)=, D(Xk)= 即在 100次抽取中，數(shù)碼“ 0”出現(xiàn)次數(shù)在 7和13之間的概率為 . 1001( 7 13 )kkPX????= 100110( 1 1 )3kkXP ??? ? ? ??( 1
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