[理學(xué)]量子力學(xué)(已修改)
2025-01-31 15:19 本頁(yè)面
【正文】 1 上次課復(fù)習(xí)： 1. 量子力學(xué)中特別重要的算符 厄米算符 厄米算符的定義： AA ?? ??厄米算符的性質(zhì)： 在任意狀態(tài)下平均值為實(shí)數(shù) 因此物理可觀測(cè)量可用厄米 算符來(lái)表示 2. 算符的函數(shù) ????0)(?!)0()?(nnnAnFAF2 3. 厄米 算符的本征值和本征函數(shù) 平均值漲落的概念 ? ?? ??? d)?( 2* AA22 )?()( AAA ???漲落為 0的狀態(tài)就是力學(xué)量算符的本征態(tài) 而這個(gè)準(zhǔn)確值就是力學(xué)量算符的本征值 用公式表示 nnn AA ?? ??相關(guān)性質(zhì)定理： *)1( nn AA ?0)()2( ?nm ?? ，3 4. 通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明如何求解某一個(gè)算符的 本征值和本征函數(shù) 某些算符有共同的本征函數(shù) 某些算符的本征值存在簡(jiǎn)并 5. 簡(jiǎn)并本征態(tài)的正交化 — Schmidt方法 ),2,1,(1nfnn fan??? ???????????),2,1(,? nnnn fAA ??? ??? ?? 盡管如此，我們總可以說(shuō)，厄米算符的本征 函數(shù)彼此正交，不管它們是否簡(jiǎn)并。 如何去區(qū)分這些簡(jiǎn)并態(tài)呢？ 4 167。 共同本征函數(shù) 167。 不確定度關(guān)系的嚴(yán)格證明 能得到確定值。，則不一定。如果測(cè)量確定值，并不出現(xiàn)漲落，可以得到的本征態(tài)中測(cè)量力學(xué)量在算符BAA?定而其不確定度由下式確不能夠同時(shí)完全確定，二象性，其位置與動(dòng)量例如，由于粒子的波粒????? px5 對(duì)于比較普遍的情況： ）（注意：在經(jīng)典力學(xué)中 AAA ???厄米算符。也是，是厄米算符，所以，因?yàn)?BABA ???? ??考慮積分 積分區(qū)間取為整個(gè)空間。 為實(shí)參數(shù)? ????? ????? 0d|)??(|)( 2BiAIBBBAAA ?????? ???? ，兩個(gè)力學(xué)量，設(shè)有 BA ??令 展開上式，有 6 ???????? d]??[??()( ** ）（）（） BiABiAI ??????? ??? ??????????????????????????ddd2****)?(?]?)?()?(?[?(?(BBBAABiAA）（）（）（））均是厄米算符，所以有，因?yàn)?BA ?? ???? ???????????????????????d?d)????(d)?()(2**2*2）（ BABBAiAI（利用了厄米性） 7 ABBA ???? ??0?)????()?()( 222 ??????? ）（ BABBAiAI ???則令 KiABBA ????? ??的一元二次方程這是有關(guān)實(shí)參數(shù) ?ABBA ???? ?????而)?)(?()?)(?( AABBBAA ??????0??)?( 222 ????? ）（ BKA ??則 對(duì)上頁(yè)所得 ?? ???????????????????????d?d)????(d)?()(2**2*2）（ BABBAiAI8 其有解的條件可由判別式給出，即 2||?? KBA ????簡(jiǎn)記為或 |]??[|21?? BABA ，????這就是對(duì)于兩個(gè)一般算符的不確定度關(guān)系。 2? ????? xpx則有4)?()?(222 KBA ????ipx x ?]?[ ，因?yàn)楸热? 這正是我們所熟悉的關(guān)系。 9 對(duì)易關(guān)系對(duì)不確定度關(guān)系的意義： 同的本征態(tài)。或者說(shuō)它們不能有共不能同時(shí)測(cè)定和即 ,BA）不確定（則另一個(gè)完全）如果一個(gè)完全確定（?????BA ,0一般來(lái)說(shuō)。不能同時(shí)為，不對(duì)易，則和若兩個(gè)力學(xué)量0BABA??我們已經(jīng)知道 |]??[|21?? BABA ，????10 。同時(shí)有確定值，態(tài)中，如在 0??),(00 yx LLY ??.0是存在的的特殊情況不對(duì)易時(shí)，和但當(dāng) ???? BABABA ?? , 反過(guò)來(lái)說(shuō)，若兩個(gè)力學(xué)量 A和 B對(duì)易，則 可以找到狀態(tài)使得 同時(shí)為 0 。 這樣 的狀態(tài)稱為 的共同本征態(tài)。 實(shí)際上這 也是我們介紹不確定度關(guān)系的最重要原因。 BA ?,?﹟ 11 例 1 本征態(tài)。）的共同討論動(dòng)量的三個(gè)分量（ zyx ppp ?,?,?有共同本征態(tài)）可以，，所以（，由于 zyx ppppp ???0]??[ ???即平面波函數(shù) )()()()( zyxrzyx pppp ???? ???具體表示為 12 ),( zyx pppp?相應(yīng)的本征值為 函數(shù)即的共同本征態(tài)坐標(biāo) ?,),( zyxr?例 2 )()()()()( 0000000 zzyyxxrrrzyx ?????? ????? ???)(2/3)2(1 zyx zpypxpie ??? ???rpie?????? 2/3)2
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