【正文】 .Scattering 1 散 射 scattering .Scattering 2 散射過(guò)程： Z θ ds 靶粒子的處在位置稱為散射中心。 方向準(zhǔn)直的均勻單能粒子由遠(yuǎn)處沿 z軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開(kāi)去，此過(guò)程稱為 散射過(guò)程 。散射后的粒子可用探測(cè)器測(cè)量。 一 散射截面 .Scattering 3 散射角 ：入射粒子受靶粒子勢(shì)場(chǎng)的作用 ， 其運(yùn)動(dòng)方向偏離入射方向的角度 。 彈性散射 ：若在散射過(guò)程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。 入射粒子流密度 N ： 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)與入射粒子運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射粒子流強(qiáng)度的物理量，故又稱為入射粒子流強(qiáng)度。 散射截面： 一 散射截面 (續(xù) 1) .Scattering 4 設(shè)單位時(shí)間內(nèi)散射到 （ ?， ?） 方向面積元 ds上 （ 立體角 d?內(nèi) ） 的粒子數(shù)為 dn， 顯然 2dsd n dr? ? ?綜合之，則有： 或 （ 1） ?? Ndqdn ),( ??d n N?d n N d??比例系數(shù) q(?， ?)的性質(zhì)： q(?， ?)與入射粒子和靶粒子 （ 散射場(chǎng) ） 的性質(zhì) ， 它們之間的相互作用 ， 以及入射粒子的動(dòng)能有關(guān) ， 是 ?， ? 的函數(shù) 一 散射截面 (續(xù) 2) .Scattering 5 q(?， ?)具有面積的量綱 2][ LNddnq ?????????故稱 q(?， ?)為微分散射截面 ， 簡(jiǎn)稱為截面 或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面積 q(?， ?)， 則單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)此截面的粒子數(shù)恰好散射到 (?， ?)方向的單位立體角內(nèi)。 ??ddnNq ),( ?? （ 2） 一 散射截面 (續(xù) 3) .Scattering 6 總散射截面： ??????? ? ? ddqdqQ s i n),(),(020? ? ????[注 ] 由 （ 2） 式知 ， 由于 N、 可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定 ， 故而求得 。 d n d ?( , )q ?? 量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計(jì)算出 ，以便于同實(shí)驗(yàn)比較，從而反過(guò)來(lái)研究粒子間的相互作用以及其它問(wèn)題。 ( , )q ??一 散射截面 (續(xù) 4) .Scattering 7 二、散射振幅 現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對(duì)散射體系的描述 。 設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠(yuǎn)大于散射粒子的質(zhì)量 ， 在碰撞過(guò)程中 ， 靶粒子可視為靜止 。 取散射中心 A為坐標(biāo)原點(diǎn) ， 散射粒子體系的定態(tài) Schr246。dinger方程 ????ErU ???? )(222 ??)(2)(2 222 rUrVEk ??? ?? ??（ 4） 令 方程 （ 4） 改寫為 .Scattering 8 0)]([ 22 ???? ?? rVk ? （ 5） 由于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的 ， 從微觀角度看 ， 可以認(rèn)為 ， 因此 ， 在計(jì)算 時(shí) ， 僅需考慮 處的散射粒子的行為 ， 即僅需考慮 處的散射體系的波函數(shù) 。 ??r??r),( ??q??r 設(shè) 時(shí) ， ， 方程 （ 5） 變?yōu)? ??r 0)( ?rV ?022 ??? ?? k （ 6） 令 （ 7） r?? ? 二、散射振幅 (續(xù) 1) .Scattering 9 將（ 6）式寫成 0?22222???????????????rLkr在 的情形下 ， 此方程簡(jiǎn)化為 ??r0222???? ?? kr此方程類似一維波動(dòng)方程 。 我們知道 ， 對(duì)于一維勢(shì)壘或勢(shì)阱的散射情況 （ 8） ik x ik xk Ae Be???x??ik xk ce?x?? 二、散射振幅 (續(xù) 2) .Scattering 10 i k refr ),(),( ????? ?i k refr ??? ),(),( ?????方程（ 8）有兩個(gè)特解 式中 為入射波或透射波 ， 為散射波 ，波只沿一方向散射 。 ikxe ikxe? 對(duì)于三維情形，波可沿各方向散射。三維散射時(shí)，在 處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入射波和散射波之和。 ??r 二、散射振幅 (續(xù) 3) .Scattering 11 因此 refr i kr),(),(2 ????? ?refr i kr??? ),(),(2 ????? 代表由散射中心向外傳播的球面散射波 ， 代表向散射中心會(huì)聚的球面波 ， 不是散射波 ， 應(yīng)略去 。 2??2? 在 處 ， 散射粒子的波函數(shù)是入射平面波 和球面散射波 之和 。 即 ??r1 ikze? ? 2?（ 9） ( ) ( , )ikrikz er Ae fr? ? ??r ?? 二、散射振幅 (續(xù) 4) .Scattering 12 散射波的幾率流密度 ** * *111 1 1 1 1()22ziiJ ik ikzzkN??? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ???????? ? ?入射波幾率密度 （ 即入射粒子流密度 ） 為方便起見(jiàn)，取入射平面波 的系數(shù) ，這表明 ，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為 1。 1|| 21 ??ikxe 1A?（ 10） 二、散射振幅 (續(xù) 5) .Scattering 13 222*2*22 |),(|2 ????????frrriJr ??????????????? ?單位時(shí)間內(nèi) ， 在沿 方向 d?立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為 ),( ??222| ( , ) || ( , ) |rd n J d s f d srf Nd?????????（ 13） 2|),(|),( ???? fq ?比較 （ 1） 式與 （ 12） ， 得到 （ 12） （ 11） 二、散射振幅 (續(xù) 6) .Scattering 14 下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法 ， 玻恩近似方法 。 分波法是準(zhǔn)確的求散射理論問(wèn)題的方法 ， 即準(zhǔn)確的散射理論 。 由此可知 ， 若知道了 ， 即可求得 ， 稱為散射振幅 。 所以 ， 對(duì)于能量給定的入射粒子 ， 速率 給定 ， 于是 ， 入射粒子流密度 給定 ， 只要知道了散射振幅 ， 也就能求出微分散射截面 。 的具體形式通過(guò)求Schr246。dinger方程 （ 5） 的解并要求在 時(shí)具有漸近形式 （ 9） 而得出 。 ( , )f ??( , )q ??( , )f ??v( , )f ??( , )f ????rNv? 二、散射振幅 (續(xù) 7) .Scattering 15 22 [ ( ) ] 0k V r??? ? ? ? 取沿粒子入射方向并通過(guò)散射中心的軸線為極軸 z， 顯然 ?與 ?無(wú)關(guān) ， 按照 167。 論 ， 對(duì)于具有確定能量的粒子 ， 方程 （ 31）的特解為 ( ) ( , )l lmR r Y ??討論粒子在中心力場(chǎng)中的散射。 （ 31） 粒子在輳力場(chǎng)中的勢(shì)能為 ，狀態(tài)方程 )(rU ?由于現(xiàn)在 ?與 ?無(wú)關(guān) (m=0)， 所以 ， 方程 （ 1）的特解可寫成 三、分波法 .Scattering 16 ( ) ( c o s )llR r P ?方程（ 31）的通解為所有特解的線性迭加 ( , ) ( ) ( c o s )lllr R r P? ? ?? ?（ 32） （ 32）代入（ 31），得徑向方程 為待定的徑向波函數(shù) ， 每個(gè)特解稱為一個(gè)分波 ， 稱為第 個(gè)分波 ， 通常稱 的分波分別為 s, p, d, f… 分波 )( co s)( ?ll PrR? ?lRrl0 ,1, 2 , 3 ,l ?22221 ( 1 )( ) ( ) 0lldRd l lr k V r R rd r d rrr??? ??? ? ? ??? ??????（ 33） 三、分波法 (續(xù) 1) .Scattering 17 222() ( ) 0lld U r k U rdr??2222( 1 )( ) ( ) 0lldU llk V r U rd r r???? ? ? ?????令 ()() ll UrRr r? 代入上方程 （ 34） 考慮方程（ 34）在 情況下的極限解 ??r令 方程（ 34）的極限形式 ??r由此求得： ( ) s i n ( )l l lU r A k r ?????1( ) s i n2lllAR r k r lkr ??????????（ 35） r ?? 三、分波法 (續(xù) 2) .Scattering 18 為了后面的方便起見(jiàn) ， 這里引入了兩個(gè)新的常數(shù) ,2l l l llA k A ?????? ? ?將（ 35）代入（ 32），得到方程（ 31）在 情形下通解的漸近形式 ??r11( ) ( )220( c o s )2lli k r l i k r llllAe e Pi k r? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ?????01( , ) s i n ( c o s )2llllAr k r l P