【正文】 ?????????ararbrrzerUs當(dāng)當(dāng)0)(222szeab ?K r d rrrU s in)(0? ? K r d rbrzeas s in022????????? ??220 012 c o s c o saasrz e K r r K r d rK b K b??? ? ? ????? ?Solve: ????????????????? ??? aass K rd rbKKrrbKKabazezeK 0202222 si n2si n2c o s1四 .玻恩近似 (續(xù) 26) .Scattering 67 )c o s1(2si n2c o s1 32222 KabKKabKaKabazezeK ss????????????????? ?????????????????? ????? KaKbaKabKbazebKzeK sssi n2c o s221 2222220422s i n)(4),( ? ?? K r drrrUKq ????222222442s i n2c o s224 KaKbaKabKbazebKzeK ss????????? ???????四 .玻恩近似 (續(xù) 27) .Scattering 68 設(shè) ， 求反射系數(shù) ? ?axeVxV /0 1)( ???)()()()(2 222xExxVdx xd ???? ??? ?Solve: （ 1） 令 axe ????則 ??? ?????????? ???111 00VVV?????????ddaddeadxddddxd ax 11 ??? ????????? ???????????????????????ddddadxddddddxd22222 1（ 2） （ 3） （ 4） 將 （ 2） （ 4） 代入方程 （ 1） ， 則有 四 .玻恩近似 (續(xù) 28) .Scattering 69 )()()1(2 22220222 ????????????? akaVdddd ????? ?22 2?Ek ??其中 （ 5） )(222xkdxd ?? ??i k ai k xex ?? ?? ~)(當(dāng) 時(shí)，方程（ 1）的漸近形式 r ??)()( ????? i k a??令 此方程有平面波解 當(dāng) 時(shí) ， ， 超于常數(shù) ??x0?? )(????????? 1??? ?? i kai ka i k adddd（ 6） 四 .玻恩近似 (續(xù) 29) .Scattering 70 221222 2 ( 1 )i k a i k a i k ad d dik a ik a ik ad d d? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?0)1)(21()1( 22022?????? ???????? akddi k add將 （ 8） 寫(xiě)成 ? ??? )(22 0122100 EVkKkVk ????? ??（ 7） 利用這些關(guān)系式，方程（ 5）可寫(xiě)成 （ 8） 其中 0)()1)(21()1( 222122??????? ???????? akkddi k add （ 9） 再令 akkiakkii k ac )(,)(),21(11 ??????? ??四 .玻恩近似 (續(xù) 30) .Scattering 71 c??? 1??22( 1 ) [ ( 1 ) ] ( ) 0dd c??? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ?顯然 于是，方程（ 9）變?yōu)? （ 10） 方程（ 10）為超幾何方程，其滿足 （即 ）， 有限的解為 0????x )(?????????????!3)2)(1()2)(1()2)(1( 3???????ccc!2)1()1()1(!11)。式（ 4）表明要求散射角比較大，能量比較大，這時(shí)散射要在原子核附近發(fā)生，即入射粒子深入到原子內(nèi)部，因而核外電子不起屏蔽作用。 于是 ， 入射粒子流密度 ?d3( , ) ( , )d n q N d q L d? ? ? ? ? ?? ? ? ?單位時(shí)間內(nèi)，散射到 方向立體角 內(nèi)的粒子數(shù) 3?? LN ?),( ??（ 1） 另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力場(chǎng)的微擾作用，從動(dòng)量為 的初態(tài) 躍遷到動(dòng)量 的末態(tài) ， 即 k?? )(rk ??k??? )(rk ???四 .玻恩近似 (續(xù) 1) .Scattering 42 kkk ??? |||| ??)(rk ?? )(rk ???對(duì)于彈性散射 ， 動(dòng)能守恒 單位時(shí)間內(nèi)，粒子從初態(tài) 躍遷到動(dòng)量大小為 ，方向?yàn)? 的立體角 內(nèi)所有末態(tài)上的幾率，即躍遷幾率 )(rk ??kp ?? ),( ?? ?d躍遷距陣元 ??? ? dmH kk )(2 2 ??? ?（ 2） * ( ) ( )k k k kH U r r d? ? ???? ? ?? ?????? ?derUL rkki ???? )(3 )( （ 3） 四 .玻恩近似 (續(xù) 2) .Scattering 43 為動(dòng)量大小為 方向角為 的末態(tài)數(shù)目（態(tài)密度） )(m? k? ),( ??kLm ?????32)( ????????? （ 4） 將 （ 3） 、 （ 4） 代入 （ 2） 式 ， 得出 23 ( )23 ()4i k k rkL U r e d d?? ? ????? ? ? ??? ?（ 5） 此式在數(shù)量上即表示單位時(shí)間內(nèi)躍遷到立體角d?內(nèi)的粒子數(shù) 23 ( )23 ()4i k k rkd n L U r e d d??????? ? ? ?? ? ??（ 6） 四 .玻恩近似 (續(xù) 3) .Scattering 44 2)(422)(4),( ? ?????? ????? derUq rkki ?????比較（ 1），（ 6）式，并注意到 ，立即可得 kv ???（ 7） 式中絕對(duì)值內(nèi)保留負(fù)號(hào)是因?yàn)橛酶窳趾瘮?shù)法算出的散射振幅 有一負(fù)號(hào)。 粒子的勢(shì)能 : 是勢(shì)阱或勢(shì)壘的深度或高度 。 分波法的適用范圍 散射主要發(fā)生在勢(shì)場(chǎng)的作用范圍內(nèi)，若以散射中心為心，以 為半徑的球表示這個(gè)范圍，則 時(shí)，散射效果就可以忽略不計(jì)了。 論 ， 對(duì)于具有確定能量的粒子 ， 方程 （ 31）的特解為 ( ) ( , )l lmR r Y ??討論粒子在中心力場(chǎng)中的散射。 即 ??r1 ikze? ? 2?（ 9） ( ) ( , )ikrikz er Ae fr? ? ??r ?? 二、散射振幅 (續(xù) 4) .Scattering 12 散射波的幾率流密度 ** * *111 1 1 1 1()22ziiJ ik ikzzkN??? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ???????? ? ?入射波幾率密度 （ 即入射粒子流密度 ） 為方便起見(jiàn)，取入射平面波 的系數(shù) ，這表明 ，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為 1。 取散射中心 A為坐標(biāo)原點(diǎn) ， 散射粒子體系的定態(tài) Schr246。 一 散射截面 .Scattering 3 散射角 ：入射粒子受靶粒子勢(shì)場(chǎng)的作用 ， 其運(yùn)動(dòng)方向偏離入射方向的角度 。 彈性散射 ：若在散射過(guò)程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。dinger方程 ????ErU ???? )(222 ??)(2)(2 222 rUrVEk ??? ?? ??（ 4） 令 方程 （ 4） 改寫(xiě)為 .Scattering 8 0)]([ 22 ???? ?? rVk ? （ 5） 由于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的 ， 從微觀角度看 ， 可以認(rèn)為 ， 因此 ， 在計(jì)算 時(shí) ， 僅需考慮 處的散射粒子的行為 ， 即僅需考慮 處的散射體系的波函數(shù) 。 1|| 21 ??ikxe 1A?（ 10） 二、散射振幅 (續(xù) 5) .Scattering 13 222*2*22 |),(|2 ????????frrriJr ??????????????? ?單位時(shí)間內(nèi) ， 在沿 方向 d?立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為 ),( ??222| ( , ) || ( , ) |rd n J d s f d srf Nd?????????（ 13） 2|),(|),( ???? fq ?比較 （ 1） 式與 （ 12） ， 得到 （ 12） （ 11） 二、散射振幅 (續(xù) 6) .Scattering 14 下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法 ， 玻恩近似方法 。 （ 31） 粒子在輳力場(chǎng)中的勢(shì)能為 ，狀態(tài)方程 )(rU ?由于現(xiàn)在 ?與 ?無(wú)關(guān) (m=0)， 所以 ， 方程 （ 1）的特解可寫(xiě)成 三、分波法 .Scattering 16 ( ) ( c o s )llR r P ?方程（ 31）的通解為所有特解的線性迭加