【正文】 2)( rarU ?ls根據(jù)邊界條件 1( ) s i n2lllAR k r k r lkr ??????????r ?? （ 1） 解徑向函數(shù) 滿足的徑向方程 ? ?lRr令 2022 2,2??aVEk ?? ??四 .玻恩近似 (續(xù) 10) .Scattering 51 0)()1(1 220222 ??????? ?????????? rRrllrVkRdrdrdrdr0)())1((2)( 022222 ?????? rRVllrkRdrdrrRdrdr)(1)(1)( ??? ukrukrrRkr ???又令 （ 2） 所以 （ 2） 式可以寫成 于是 （ 3） 式又可寫成 222202() 1( ) ( ) 02dud u l V udd?? ? ? ? ????????? ??? ? ? ? ? ????? ????????02221 Vl ??????? ???（ 3） 令 四 .玻恩近似 (續(xù) 11) .Scattering 52 上式是 ? 階貝塞爾方程，其解為 ， 因此 ? ?22 2 22 ( ) ( ) ( ) 0ddu u udd? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?)(???J?? ?? JkrrR1)(但當(dāng) 時(shí) ， 0?r??? )( krJ ?所以在 附近 0r ?)(1~)( krJkrrR ??由 ??r 21( ) c os 24J k r k rkr? ???? ????????（ 4） 四 .玻恩近似 (續(xù) 12) .Scattering 53 ?????? ???? 2421si n2 ????? krkr ?????? ???421si n2 ????krkr21( ) s i n24R r k rkr????????????r ?? （ 5） 比較 （ 1） 式和 （ 5） 式 ， 則有 )(24 ???? ??? ll ??? 21)12(4 ??? l02212)12(4Vll ??????? ???? ??22 2212)12(4 ?all ??? ??????? ????四 .玻恩近似 (續(xù) 13) .Scattering 54 ???????? ????281140 0?al ???將 值代入微分散射截面的表達(dá)式 0?202 s i n)( co s)12(1)(lilllePlkq ??? ??????立即可得到 s分波的微分散射截面 令 20020 s i n)( co s1)( 0 ??? ?iePkq ? 022 s in1 ?k????????? ???28114si n1 22?ak??s分波散射截面 ? ?? dqQl )(0 ? ???????? ???28114si n4 22?ak???四 .玻恩近似 (續(xù) 14) .Scattering 55 慢速粒子受到勢(shì)能為 的場(chǎng)的散射， 若 ， ， 求散射截面 。由（ 7），（ 8）式得 )(0 rR 0 ()d R r d r )(0 ru0 ()d u r d raktgkkatgk ???? 1)(1 0?kaaktgkka r ct g ??????? ???0?ra?ra?總散射截面 （ 11） 0220 si n4 ??kQll ??? ?224 sin kQ a rc tg tgk a k akk? ???? ??????? ?????（ 12） 由此求得相移 即 三、分波法 (續(xù) 22) .Scattering 38 11000 ?????????? ?????? akat g kkakaaktgkk?2002202022 144si n4???????? ????akat g kakkQ ?????在粒子能量很低 的情況下， 。 l由上述看們看出：求散射振幅 的 問題歸結(jié)為求相移 ， 而 的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程（ 33）求 ， 然后取其漸近解，并寫為 l? l? ? ?Ur? ?f ?? ?lRr1( ) s in2lllR r k rkr? ?????????r ?? 三、分波法 (續(xù) 10) .Scattering 26 即可得到第 個(gè)分波的相移，由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相移 ， 所以，必須尋找各個(gè)分波的相移來計(jì)算散射截面，這種方法稱為分波法。 ikxe ikxe? 對(duì)于三維情形，波可沿各方向散射。 .Scattering 1 散 射 scattering .Scattering 2 散射過程： Z θ ds 靶粒子的處在位置稱為散射中心。三維散射時(shí)，在 處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入射波和散射波之和。 ll?光 學(xué) 定 理 )0(Im4 fkQ??（證明見后） 三、分波法 (續(xù) 11) .Scattering 27 分波法求散射截面是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的問 題。利用 時(shí)， ， 有 )0( ?k0kk ??1x?? a r c tg x x（ 13） （ 14） 對(duì)于球方勢(shì)壘 。 0()0U r aUrra???? ??當(dāng)當(dāng)0UE ? 00 ?U由徑向波函數(shù) 所滿足的徑向方程 ? ?lRr0)()1()(221 22222 ??????? ?????????? rRrllrUERdrdrdrdr ?? ??當(dāng) 時(shí) 0l?0)()(221 2222 ??????? ???????? rRrUERdrdrdrdr ?? ??（ 1） 令 rrurR )()( ?（ 2） Solve: 由于是慢速粒子散射，對(duì)于低能散射只需考慮 分波。 0)()1()(22)(1 22222 ??????? ?????????? rRrllrUErRdrdrdrdr ???? 粒子受到勢(shì)能為 的場(chǎng)的散射， 求 s分波的微分散射截面。 E ? ?Ur0 0U ?（ ）因粒子波長(zhǎng) 11a a k ak? ? ? ? ? ? ? ?h k? ?所以僅需討論 s波的散射 ， 據(jù)此及（ 2）式，可將方程（ 1）寫成 ? ?0l ? 三、分波法 (續(xù) 19) .Scattering 35 22002()1 ( ) 0d R rd r k R r r ar d r d r?? ?? ? ?????22002()1 ( ) 0d R rd r k R r r ar d r d r?? ? ? ?????其中 2022 kkk ???rrurR )()( 00 ?（ 4） （ 3） 令 則 （ 3） ， （ 4） 可寫成 0)()( 02202??? rukdrrud （ 5） 三、分波法 (續(xù) 20) .Scattering 36 0)()( 02202?? rukdrrud00( ) s in ( )u r A k r r a???? ? ?00( ) s i n ( )u r B k r r a?? ? ?（ 6） 其解為 （ 7） （ 8） arrkrArR ????? )s i n ()( 00 ?arkrrBrR ??? )s i n ()( 00 ?于是 （ 9） （ 10） 因 在 處有限，必須有 rrurR )()( 00 ?0r ? 0)0(0 ?u所以 00 ??? 三、分波法 (續(xù) 21) .Scattering 37 在 處， 及 連續(xù)，因此， 及 在 處連續(xù)。 l?????? ?? llkr ??21?????? ? ?lkr 21ll? ll? 的物理意義： 三、分波法 (續(xù) 8) .Scattering 24 微分散射截面 （ 315） 212 s i n)( co s)12(1|)(|)( ??????llillePlkfq ???? ??? ??? ????? dqdqQ s i n)(2)(??????? ??? dPPellk llllil lll s i n)( cos)( coss i ns i n)12)(12(20)(0 02 ?? ? ?????????????llllil l lellk ll ???????? ?????? ?? ? ???? ?? 12 2s i ns i n)12)(12(2 )(0 02lllk ?? 202 s in)12(4 ?????總散射截面 三、分波法 (續(xù) 9) .Scattering 25 即 （ 316） ????0ll式中 （ 317） ll lkQ ?? 22 s in)12(4 ??是第 個(gè)分波的散射截面 。 我們知道 ， 對(duì)于一維勢(shì)壘或勢(shì)阱的散射情況 （ 8） ik x ik xk Ae Be???x??ik xk ce?x?? 二、散射振幅 (續(xù) 2) .Scattering 10 i k refr ),(),( ????