【正文】 1 1 1 1[ ( ) ] [ ( ) ] [ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]i k k a i k k a i k k a i k k a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四 .玻恩近似 (續(xù) 34) 。 0()0U r aUrra???? ??當(dāng)當(dāng)0UE ? 00 ?U由徑向波函數(shù) 所滿足的徑向方程 ? ?lRr0)()1()(221 22222 ??????? ?????????? rRrllrUERdrdrdrdr ?? ??當(dāng) 時(shí) 0l?0)()(221 2222 ??????? ???????? rRrUERdrdrdrdr ?? ??（ 1） 令 rrurR )()( ?（ 2） Solve: 由于是慢速粒子散射，對(duì)于低能散射只需考慮 分波。 ars ereZZrU ??? 2)(Solve： 高速帶電粒子屬高能粒子 ， 故 20422)si n ()(4)( ? ?? drKrrrUKq ???四 .玻恩近似 (續(xù) 7) .Scattering 48 2 22 2 424 04 s i n ( )rs aZ Z e e K r d rK? ?????22242422142???????????????aKKKeZZ s??當(dāng)入射粒子的能量很大，散射角 ? 較大時(shí) 2 s in 12K a k a ?? ? ?22244422)1(4 2KaaeZZ s????? （ 1） 2s in2?kK ?其中 （ 2） （ 3） 所以上式可近似寫成 四 .玻恩近似 (續(xù) 8) .Scattering 49 222 2 4 2 2 444 4 44444 1()() 1 6 s in2ssZ Z e Z Z eaqKa k????????2csc444242 2 ???seZZ ??（ 4） 此式稱為 Rutherford散射公式 。利用 時(shí)， ， 有 )0( ?k0kk ??1x?? a r c tg x x（ 13） （ 14） 對(duì)于球方勢(shì)壘 。 ? ?Ur? ?Ur 三、分波法 (續(xù) 15) .Scattering 31 思考題： 什么是分波法？ 分波法是說入射平面波 eikz按球面波展開 c o s0( 2 1 ) ( ) ( c o s )i k z i k r l llle e l i j k r P? ???? ? ??22 2 2 21 ( ) 2 2 ( ) ( 1 ) ( ) 0d d R r E U r l lr R rr d r d r r?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?展開式中的每一項(xiàng)稱為一個(gè)分波，每個(gè)分波在中心力場(chǎng)的影響下，各自產(chǎn)生一個(gè)相移 。 ll?光 學(xué) 定 理 )0(Im4 fkQ??（證明見后） 三、分波法 (續(xù) 11) .Scattering 27 分波法求散射截面是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的問 題。 的具體形式通過求Schr246。三維散射時(shí)，在 處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入射波和散射波之和。 d n d ?( , )q ?? 量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計(jì)算出 ，以便于同實(shí)驗(yàn)比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。 .Scattering 1 散 射 scattering .Scattering 2 散射過程： Z θ ds 靶粒子的處在位置稱為散射中心。 ??ddnNq ),( ?? （ 2） 一 散射截面 (續(xù) 3) .Scattering 6 總散射截面： ??????? ? ? ddqdqQ s i n),(),(020? ? ????[注 ] 由 （ 2） 式知 ， 由于 N、 可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定 ， 故而求得 。 ikxe ikxe? 對(duì)于三維情形，波可沿各方向散射。 所以 ， 對(duì)于能量給定的入射粒子 ， 速率 給定 ， 于是 ， 入射粒子流密度 給定 ， 只要知道了散射振幅 ， 也就能求出微分散射截面 。 l由上述看們看出：求散射振幅 的 問題歸結(jié)為求相移 ， 而 的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程（ 33）求 ， 然后取其漸近解，并寫為 l? l? ? ?Ur? ?f ?? ?lRr1( ) s in2lllR r k rkr? ?????????r ?? 三、分波法 (續(xù) 10) .Scattering 26 即可得到第 個(gè)分波的相移，由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相移 ， 所以，必須尋找各個(gè)分波的相移來計(jì)算散射截面，這種方法稱為分波法。 kal ? kal ? ka1ka ??~0l 0?kakal ? 三、分波法 (續(xù) 14) .Scattering 30 說明 已知 時(shí)，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道 的具體形式，這時(shí)，我們可先由實(shí)驗(yàn)測(cè)定散射截面和相移，然后確定勢(shì)場(chǎng)和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。由（ 7），（ 8）式得 )(0 rR 0 ()d R r d r )(0 ru0 ()d u r d raktgkkatgk ???? 1)(1 0?kaaktgkka r ct g ??????? ???0?ra?ra?總散射截面 （ 11） 0220 si n4 ??kQll ??? ?224 sin kQ a rc tg tgk a k akk? ???? ??????? ?????（ 12） 由此求得相移 即 三、分波法 (續(xù) 22) .Scattering 38 11000 ?????????? ?????? akat g kkakaaktgkk?2002202022 144si n4???????? ????akat g kakkQ ?????在粒子能量很低 的情況下， 。 eZ? 計(jì)算高速帶電粒子 ，被中性原子內(nèi)部屏蔽庫侖場(chǎng) 散射，求散射截面。 2)( rarU ?ls根據(jù)邊界條件 1( ) s i n2lllAR k r k r lkr ??????????r ?? （ 1） 解徑向函數(shù) 滿足的徑向方程 ? ?lRr令 2022 2,2??aVEk ?? ??四 .玻恩近似 (續(xù) 10) .Scattering 51 0)()1(1 220222 ??????? ?????????? rRrllrVkRdrdrdrdr0)())1((2)( 022222 ?????? rRVllrkRdrdrrRdrdr)(1)(1)( ??? ukrukrrRkr ???又令 （ 2） 所以 （ 2） 式可以寫成 于是 （ 3） 式又可寫成 222202() 1( ) ( ) 02dud u l V udd?? ? ? ? ????????? ??? ? ? ? ? ????? ????????02221 Vl ??????? ???（ 3） 令 四 .玻恩近似 (續(xù) 11) .Scattering 52 上式是 ? 階貝塞爾方程，其解為 ， 因此 ? ?22 2 22 ( ) ( ) ( ) 0ddu u udd? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?)(???J?? ?? JkrrR1)(但當(dāng) 時(shí) ， 0?r??? )( krJ ?所以在 附近 0r ?)(1~)( krJkrrR ??由 ??r 21( ) c os 24J k r k rkr? ???? ????????（ 4） 四 .玻恩近似 (續(xù) 12) .Scattering 53 ?????? ???? 2421si n2 ????? krkr ?????? ???421si n2 ????krkr21( ) s i n24R r k rkr????????????r ?? （ 5） 比較 （ 1） 式和 （ 5） 式 ， 則有 )(24 ???? ??? ll ??? 21)12(4 ??? l02212)12(4Vll ??????? ???? ??22 2212)12(4 ?all ??? ??????? ????四 .玻恩近似 (續(xù) 13) .Scattering 54 ???????? ????281140 0?al ???將 值代入微分散射截面的表達(dá)式 0?202 s i n)( co s)12(1)(lilllePlkq ??? ??????立即可得到 s分波的微分散射截面 令 20020 s i n)( co s1)( 0 ??? ?iePkq ? 022 s in1 ?k????????? ???28114si n1 22?ak??s分波散射截面 ? ?? dqQl )(0 ? ???????? ???28114si n4 22?ak???四 .玻恩近似 (續(xù) 14) .Scattering 55 慢速粒子受到勢(shì)能為 的場(chǎng)的散射， 若 ， ， 求散射截面