【正文】 kr? ? ? ? ????????????r ??（ 36） 三、分波法 (續(xù) 3) .Scattering 19 另一方面 ， 按上節(jié)的討論 ， 在遠(yuǎn)離散射中心處 ， 粒子的波函數(shù) c o s0( 2 1 ) ( ) ( c o s )i k z i k r l llle e l i j k r P? ???? ? ??][21 )21()21( ?? lkrilkri eei k r?????( , ) ( )ikrikz er e fr? ? ??r ?? （ 37） （ 38） 式中 jl(kr)是球貝塞爾函數(shù) 將平面波 按球面波展開 ikze1211( ) ( ) s i n22l lj k r J k r k r lk r k r? ??????????r ??（ 39） 三、分波法 (續(xù) 4) .Scattering 20 利用 （ 38） 、 （ 39） ， 可將 （ 37） 寫成 （ 310） 11( ) ( )220( 2 1 )( , ) ( ) [ ] ( c o s )2i k r l i k r l i k r lLle l ir f e e Pr ik r??? ? ? ?? ? ? ??????r ??（ 36）和（ 310）兩式右邊應(yīng)相等，即 )( c o s][2)21()21(0?????llkrilkrill Peei k rA ll ?????????????c o s][2)12()( )21()21(0Llkrilkrilli krPeei k rilref ????????? ?分別比較等式兩邊 和 前邊的系數(shù) ， 得 ikre ikre? 三、分波法 (續(xù) 5) .Scattering 21 11()2200( c o s ) 2 ( ) ( 2 1 ) ( c o s )li l i lll l lllA e P ik f l i e P? ? ?? ? ???????? ? ???11()2200( c o s ) ( 2 1 ) ( c o s )li l i lll l lllA e P l i e P? ? ?????????????llll ldPP ?? ??? ??????122s i n)( c o s)( c o s0??? lillil eileAl 21)21()12( ????（ 312） （ 311） 可以得到 用 乘以（ 12）式，再對(duì) ?從 積分，并利用 Legradrer多項(xiàng)式的正交性 )( c o s ?lP ???0 三、分波法 (續(xù) 6) .Scattering 22 即 （ 313） )21()12()12( ll liill eleilA??? ?????將此結(jié)果代入 （ 311） 式 )( cos)12()(2)( cos)12(020???? lllilPli k fPel l ??????????)( c os)1()12(21)( 21?? ? lilPelikf l ??? ???)( c o s)()12(211???? liiilPeeeliklll ?????? ?)( c oss i n)12(10??? llilPelkl ??? ???（ 314） 三、分波法 (續(xù) 7) .Scattering 23 可見，求散射振幅 f(?)的問題歸結(jié)為求 ，求 的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù) 的方程（ 33） l?l? ? ?Rr 由（ 38），（ 39）知， 是入射平面波的第 個(gè)分波的位相；由（ 36）知， 是散射波第 個(gè)分波的位相。所以， 是入射波經(jīng)散射后第 個(gè)分波的位相移動(dòng)（相移）。 l?????? ?? llkr ??21?????? ? ?lkr 21ll? ll? 的物理意義： 三、分波法 (續(xù) 8) .Scattering 24 微分散射截面 （ 315） 212 s i n)( co s)12(1|)(|)( ??????llillePlkfq ???? ??? ??? ????? dqdqQ s i n)(2)(??????? ??? dPPellk llllil lll s i n)( cos)( coss i ns i n)12)(12(20)(0 02 ?? ? ?????????????llllil l lellk ll ???????? ?????? ?? ? ???? ?? 12 2s i ns i n)12)(12(2 )(0 02lllk ?? 202 s in)12(4 ?????總散射截面 三、分波法 (續(xù) 9) .Scattering 25 即 （ 316） ????0ll式中 （ 317） ll lkQ ?? 22 s in)12(4 ??是第 個(gè)分波的散射截面 。 l由上述看們看出：求散射振幅 的 問題歸結(jié)為求相移 ， 而 的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程（ 33）求 ， 然后取其漸近解，并寫為 l? l? ? ?Ur? ?f ?? ?lRr1( ) s in2lllR r k rkr? ?????????r ?? 三、分波法 (續(xù) 10) .Scattering 26 即可得到第 個(gè)分波的相移，由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相移 ， 所以，必須尋找各個(gè)分波的相移來計(jì)算散射截面，這種方法稱為分波法。 ll?光 學(xué) 定 理 )0(Im4 fkQ??（證明見后） 三、分波法 (續(xù) 11) .Scattering 27 分波法求散射截面是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的問 題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實(shí)際上，依次計(jì)算級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)是相當(dāng)復(fù)雜的，有時(shí)也是不可能的，所以只能在一定的條件下計(jì)算級(jí)數(shù)中的前幾項(xiàng)，達(dá)到一定精確度即可。 分波法的適用范圍 散射主要發(fā)生在勢(shì)場(chǎng)的作用范圍內(nèi)，若以散射中心為心，以 為半徑的球表示這個(gè)范圍，則 時(shí)，散射效果就可以忽略不計(jì)了。 ra?a 三、分波法 (續(xù) 12) .Scattering 28 由于入射波的第 個(gè)分波的徑向函數(shù) 的第一極大值位于 附近，當(dāng) 較大時(shí)，愈大， klr ?lj (kr)llr( ) 0lj k rr ??愈快，如果 的第一極大值位于 ，即 時(shí)，在 內(nèi)， 的值很小。亦即第 個(gè)分波受勢(shì)場(chǎng)的影響很小，散射影響可以忽略，只有第 個(gè)分波之前的各分波必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件 lj (kr) 0?? klrlj (kr)l ka? ra?ll 三、分波法 (續(xù) 13) .Scattering 29 寫成 ，而 的分波不必考慮， 愈小，則需計(jì)算的項(xiàng)數(shù)愈小，當(dāng) 時(shí)， ， 這時(shí)僅需計(jì)算一個(gè)相移 即足夠了， 足夠小，意味著入射粒子的動(dòng)能較低，所以分波法適用于低能散射， 的分波散射截面可以略去。 kal ? kal ? ka1ka ??~0l 0?kakal ? 三、分波法 (續(xù) 14) .Scattering 30 說明 已知 時(shí)，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道 的具體形式，這時(shí)，我們可先由實(shí)驗(yàn)測(cè)定散射截面和相移，然后確定勢(shì)場(chǎng)和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。 ? ?Ur? ?Ur 三、分波法 (續(xù) 15) .Scattering 31 思考題： 什么是分波法？ 分波法是說入射平面波 eikz按球面波展開 c o s0( 2 1 ) ( ) ( c o s )i k z i k r l llle e l i j k r P? ???? ? ??22 2 2 21 ( ) 2 2 ( ) ( 1 ) ( ) 0d d R r E U r l lr R rr d r d r r?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?展開式中的每一項(xiàng)稱為一個(gè)分波，每個(gè)分波在中心力場(chǎng)的影響下，各自產(chǎn)生一個(gè)相移 。而 的獲得需根據(jù) 的具體形式解徑向方程 l?l? ? ?Ur 三、分波法 (續(xù) 16) .Scattering 32 求出 ， 然后取其漸近解 ， 并寫成 ? ?lRr11( ) s i n2llR r k r lkr ??????????r ??即可得到第 個(gè)分波的相移，由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相移 ， 所以，計(jì)算散射截面時(shí)須尋找各個(gè)分波的相移， 這種方法稱為分波法。 ll? 三、分波法 (續(xù) 17) .Scattering 33 分波法應(yīng)用舉例 ??????ararUrU0)( 0ex. 球方勢(shì)阱和球方勢(shì)壘的低能散射。 粒子的勢(shì)能 : 是勢(shì)阱或勢(shì)壘的深度或高度 。 設(shè)入射粒子能量很小 ， 其德布羅意波長(zhǎng)比勢(shì)場(chǎng)作用范圍大很多 （ 質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)為這種情況 ） ， 求粒子的散射截面 。 0USolve: 粒子的徑向方程 2222()1 ( 1 )( ) ( ) 0lld R rd l lr k V r R rr d r d r r??? ??? ? ? ??? ??????（ 1） 三、分波法 (續(xù) 18) .Scattering 34 其中 2222 2 ( ), ( )E U rk V r????（ 2） ????????????ararkUrUrV0||2