【正文】 ( , ) ( ) ( c o s )lllr R r P? ? ?? ?（ 32） （ 32）代入（ 31），得徑向方程 為待定的徑向波函數(shù) ， 每個(gè)特解稱為一個(gè)分波 ， 稱為第 個(gè)分波 ， 通常稱 的分波分別為 s, p, d, f… 分波 )( co s)( ?ll PrR? ?lRrl0 ,1, 2 , 3 ,l ?22221 ( 1 )( ) ( ) 0lldRd l lr k V r R rd r d rrr??? ??? ? ? ??? ??????（ 33） 三、分波法 (續(xù) 1) .Scattering 17 222() ( ) 0lld U r k U rdr??2222( 1 )( ) ( ) 0lldU llk V r U rd r r???? ? ? ?????令 ()() ll UrRr r? 代入上方程 （ 34） 考慮方程（ 34）在 情況下的極限解 ??r令 方程（ 34）的極限形式 ??r由此求得： ( ) s i n ( )l l lU r A k r ?????1( ) s i n2lllAR r k r lkr ??????????（ 35） r ?? 三、分波法 (續(xù) 2) .Scattering 18 為了后面的方便起見 ， 這里引入了兩個(gè)新的常數(shù) ,2l l l llA k A ?????? ? ?將（ 35）代入（ 32），得到方程（ 31）在 情形下通解的漸近形式 ??r11( ) ( )220( c o s )2lli k r l i k r llllAe e Pi k r? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ?????01( , ) s i n ( c o s )2llllAr k r l Pkr? ? ? ? ????????????r ??（ 36） 三、分波法 (續(xù) 3) .Scattering 19 另一方面 ， 按上節(jié)的討論 ， 在遠(yuǎn)離散射中心處 ， 粒子的波函數(shù) c o s0( 2 1 ) ( ) ( c o s )i k z i k r l llle e l i j k r P? ???? ? ??][21 )21()21( ?? lkrilkri eei k r?????( , ) ( )ikrikz er e fr? ? ??r ?? （ 37） （ 38） 式中 jl(kr)是球貝塞爾函數(shù) 將平面波 按球面波展開 ikze1211( ) ( ) s i n22l lj k r J k r k r lk r k r? ??????????r ??（ 39） 三、分波法 (續(xù) 4) .Scattering 20 利用 （ 38） 、 （ 39） ， 可將 （ 37） 寫成 （ 310） 11( ) ( )220( 2 1 )( , ) ( ) [ ] ( c o s )2i k r l i k r l i k r lLle l ir f e e Pr ik r??? ? ? ?? ? ? ??????r ??（ 36）和（ 310）兩式右邊應(yīng)相等，即 )( c o s][2)21()21(0?????llkrilkrill Peei k rA ll ?????????????c o s][2)12()( )21()21(0Llkrilkrilli krPeei k rilref ????????? ?分別比較等式兩邊 和 前邊的系數(shù) ， 得 ikre ikre? 三、分波法 (續(xù) 5) .Scattering 21 11()2200( c o s ) 2 ( ) ( 2 1 ) ( c o s )li l i lll l lllA e P ik f l i e P? ? ?? ? ???????? ? ???11()2200( c o s ) ( 2 1 ) ( c o s )li l i lll l lllA e P l i e P? ? ?????????????llll ldPP ?? ??? ??????122s i n)( c o s)( c o s0??? lillil eileAl 21)21()12( ????（ 312） （ 311） 可以得到 用 乘以（ 12）式，再對 ?從 積分，并利用 Legradrer多項(xiàng)式的正交性 )( c o s ?lP ???0 三、分波法 (續(xù) 6) .Scattering 22 即 （ 313） )21()12()12( ll liill eleilA??? ?????將此結(jié)果代入 （ 311） 式 )( cos)12()(2)( cos)12(020???? lllilPli k fPel l ??????????)( c os)1()12(21)( 21?? ? lilPelikf l ??? ???)( c o s)()12(211???? liiilPeeeliklll ?????? ?)( c oss i n)12(10??? llilPelkl ??? ???（ 314） 三、分波法 (續(xù) 7) .Scattering 23 可見，求散射振幅 f(?)的問題歸結(jié)為求 ，求 的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù) 的方程（ 33） l?l? ? ?Rr 由（ 38），（ 39）知， 是入射平面波的第 個(gè)分波的位相；由（ 36）知， 是散射波第 個(gè)分波的位相。 ra?a 三、分波法 (續(xù) 12) .Scattering 28 由于入射波的第 個(gè)分波的徑向函數(shù) 的第一極大值位于 附近，當(dāng) 較大時(shí)，愈大， klr ?lj (kr)llr( ) 0lj k rr ??愈快，如果 的第一極大值位于 ，即 時(shí)，在 內(nèi)， 的值很小。 設(shè)入射粒子能量很小 ， 其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多 （ 質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)為這種情況 ） ， 求粒子的散射截面 。引入矢量 ),( ??fkkK ??? ???2s in2?kK ?θ k??kkK ??? ???k??? derUderU rKirkki? ? ?????? ?? ?????? )()( )(其中 ?是散射角， 是散射引起動(dòng)量的變化，于是 K??（ 8） 四 .玻恩近似 (續(xù) 4) .Scattering 45 取 的方向?yàn)榍蜃鴺?biāo)的極軸方向， 為方位角，則可簡化積分 K? ?? ??,2c o s20 0 0( ) ( ) s i ni K ri K rU r e d U r r d r e d d?? ?? ? ? ?? ???? ?? ??? ? ? ?? ?? 0 )s in ()(4 drKrrrUK?20422)si n ()(4),( ? ?? drKrrrUKq ????（ 9） 因而 （ 10） 此式即為玻恩近似表達(dá)式，若勢能 已知，計(jì)算積分后就可以求出微分散射截面，所以，應(yīng)用玻恩近似法計(jì)算微分散射截面時(shí)，主要難點(diǎn)在于給出 的具體形式后，如何計(jì)算積分 。當(dāng) 角很小時(shí)，條件（ 3）不能滿足， Rutherford公式不能成立，此時(shí)需用（ 1）式。,()(2????????????????????ccccF（ 11） 四 .玻恩近似 (續(xù) 31) .Scattering 72 ( ) ( ) 1( ) ( ) , 1 , 1 。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下 a四 .玻恩近似 (續(xù) 19) .Scattering 60 只考慮 s分波，求慢速粒子受到勢場 的場散射時(shí)的散射截面 4)( rarU ?Solve: 根據(jù)邊界條件 1( ) s i n2lllAR k r k r lkr ??????????r ??解徑向方程： 0)()1()(22)(1 22222 ??????? ?????????? rRrllrUErRdrdrdrdr ll ?? ??令 22 2?Ek ??4042212)(2)(rVrarUrV ????????則上方程簡寫為： 0)()1()(1 240222 ??????? ?????????? rRrllrVkrRdrdrdrdr ll四 .玻恩近似 (續(xù) 20) .Scattering 61 0)(21)()( 2202222 ??????????????? ????? ????????lll ulrVddudud)(1)( ??? ll urRkr ??令 代入上方程，有 只考慮 s分波， ， 由于 ， ，以上方程在 時(shí)的漸近形式為 020 ?rV??r??r0l ?0)(21)()( 22222 ????