【正文】 7） （ 38） 式中 jl(kr)是球貝塞爾函數(shù) 將平面波 按球面波展開 ikze1211( ) ( ) s i n22l lj k r J k r k r lk r k r? ??????????r ??（ 39） 三、分波法 (續(xù) 4) .Scattering 20 利用 （ 38） 、 （ 39） ， 可將 （ 37） 寫成 （ 310） 11( ) ( )220( 2 1 )( , ) ( ) [ ] ( c o s )2i k r l i k r l i k r lLle l ir f e e Pr ik r??? ? ? ?? ? ? ??????r ??（ 36）和（ 310）兩式右邊應(yīng)相等，即 )( c o s][2)21()21(0?????llkrilkrill Peei k rA ll ?????????????c o s][2)12()( )21()21(0Llkrilkrilli krPeei k rilref ????????? ?分別比較等式兩邊 和 前邊的系數(shù) ， 得 ikre ikre? 三、分波法 (續(xù) 5) .Scattering 21 11()2200( c o s ) 2 ( ) ( 2 1 ) ( c o s )li l i lll l lllA e P ik f l i e P? ? ?? ? ???????? ? ???11()2200( c o s ) ( 2 1 ) ( c o s )li l i lll l lllA e P l i e P? ? ?????????????llll ldPP ?? ??? ??????122s i n)( c o s)( c o s0??? lillil eileAl 21)21()12( ????（ 312） （ 311） 可以得到 用 乘以（ 12）式，再對(duì) ?從 積分，并利用 Legradrer多項(xiàng)式的正交性 )( c o s ?lP ???0 三、分波法 (續(xù) 6) .Scattering 22 即 （ 313） )21()12()12( ll liill eleilA??? ?????將此結(jié)果代入 （ 311） 式 )( cos)12()(2)( cos)12(020???? lllilPli k fPel l ??????????)( c os)1()12(21)( 21?? ? lilPelikf l ??? ???)( c o s)()12(211???? liiilPeeeliklll ?????? ?)( c oss i n)12(10??? llilPelkl ??? ???（ 314） 三、分波法 (續(xù) 7) .Scattering 23 可見，求散射振幅 f(?)的問題歸結(jié)為求 ，求 的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù) 的方程（ 33） l?l? ? ?Rr 由（ 38），（ 39）知， 是入射平面波的第 個(gè)分波的位相；由（ 36）知， 是散射波第 個(gè)分波的位相。 的具體形式通過求Schr246。 1|| 21 ??ikxe 1A?（ 10） 二、散射振幅 (續(xù) 5) .Scattering 13 222*2*22 |),(|2 ????????frrriJr ??????????????? ?單位時(shí)間內(nèi) ， 在沿 方向 d?立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為 ),( ??222| ( , ) || ( , ) |rd n J d s f d srf Nd?????????（ 13） 2|),(|),( ???? fq ?比較 （ 1） 式與 （ 12） ， 得到 （ 12） （ 11） 二、散射振幅 (續(xù) 6) .Scattering 14 下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法 ， 玻恩近似方法 。三維散射時(shí)，在 處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入射波和散射波之和。dinger方程 ????ErU ???? )(222 ??)(2)(2 222 rUrVEk ??? ?? ??（ 4） 令 方程 （ 4） 改寫為 .Scattering 8 0)]([ 22 ???? ?? rVk ? （ 5） 由于實(shí)驗(yàn)觀測(cè)是在遠(yuǎn)離靶的地方進(jìn)行的 ， 從微觀角度看 ， 可以認(rèn)為 ， 因此 ， 在計(jì)算 時(shí) ， 僅需考慮 處的散射粒子的行為 ， 即僅需考慮 處的散射體系的波函數(shù) 。 d n d ?( , )q ?? 量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計(jì)算出 ，以便于同實(shí)驗(yàn)比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。 彈性散射 ：若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。 .Scattering 1 散 射 scattering .Scattering 2 散射過程： Z θ ds 靶粒子的處在位置稱為散射中心。 一 散射截面 .Scattering 3 散射角 ：入射粒子受靶粒子勢(shì)場(chǎng)的作用 ， 其運(yùn)動(dòng)方向偏離入射方向的角度 。 ??ddnNq ),( ?? （ 2） 一 散射截面 (續(xù) 3) .Scattering 6 總散射截面： ??????? ? ? ddqdqQ s i n),(),(020? ? ????[注 ] 由 （ 2） 式知 ， 由于 N、 可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定 ， 故而求得 。 取散射中心 A為坐標(biāo)原點(diǎn) ， 散射粒子體系的定態(tài) Schr246。 ikxe ikxe? 對(duì)于三維情形，波可沿各方向散射。 即 ??r1 ikze? ? 2?（ 9） ( ) ( , )ikrikz er Ae fr? ? ??r ?? 二、散射振幅 (續(xù) 4) .Scattering 12 散射波的幾率流密度 ** * *111 1 1 1 1()22ziiJ ik ikzzkN??? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ???????? ? ?入射波幾率密度 （ 即入射粒子流密度 ） 為方便起見，取入射平面波 的系數(shù) ，這表明 ，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為 1。 所以 ， 對(duì)于能量給定的入射粒子 ， 速率 給定 ， 于是 ， 入射粒子流密度 給定 ， 只要知道了散射振幅 ， 也就能求出微分散射截面 。 論 ， 對(duì)于具有確定能量的粒子 ， 方程 （ 31）的特解為 ( ) ( , )l lmR r Y ??討論粒子在中心力場(chǎng)中的散射。 l由上述看們看出：求散射振幅 的 問題歸結(jié)為求相移 ， 而 的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程（ 33）求 ， 然后取其漸近解，并寫為 l? l? ? ?Ur? ?f ?? ?lRr1( ) s in2lllR r k rkr? ?????????r ?? 三、分波法 (續(xù) 10) .Scattering 26 即可得到第 個(gè)分波的相移，由于每個(gè)分波都將產(chǎn)生相移 ， 所以，必須尋找各個(gè)分波的相移來計(jì)算散射截面，這種方法稱為分波法。 分波法的適用范圍 散射主要發(fā)生在勢(shì)場(chǎng)的作用范圍內(nèi)，若以散射中心為心，以 為半徑的球表示這個(gè)范圍，則 時(shí)，散射效果就可以忽略不計(jì)了。 kal ? kal ? ka1ka ??~0l 0?kakal ? 三、分波法 (續(xù) 14) .Scattering 30 說明 已知 時(shí)，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道 的具體形式，這時(shí)，我們可先由實(shí)驗(yàn)測(cè)定散射截面和相移，然后確定勢(shì)場(chǎng)和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。 粒子的勢(shì)能 : 是勢(shì)阱或勢(shì)壘的深度或高度 。由（ 7），（ 8）式得 )(0 rR 0 ()d R r d r )(0 ru0 ()d u r d raktgkkatgk ???? 1)(1 0?kaaktgkka r ct g ??????? ???0?ra?ra?總散射截面 （ 11） 0220 si n4 ??kQll ??? ?224 sin kQ a rc tg tgk a k akk? ???? ??????? ?????（ 12） 由此求得相移 即 三、分波法 (續(xù) 22) .Scattering 38 11000 ?????????? ?????? akat g kkakaaktgkk?2002202022 144si n4???????? ????akat g kakkQ ?????在粒子能量很低 的情況下， 。 于是 ， 入射粒子流密度 ?d3( , ) ( , )d n q N d q L d? ? ? ? ? ?? ? ? ?單位時(shí)間內(nèi)，散射到 方向立體角 內(nèi)的粒子數(shù) 3?? LN ?),( ??（ 1） 另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力場(chǎng)的微擾作用，從動(dòng)量為 的初態(tài) 躍遷到動(dòng)量 的末態(tài) ， 即 k?? )(rk ??k??? )(rk ???四 .玻恩近似 (續(xù) 1) .Scattering 42 kkk ??? |||| ??)(rk ?? )(rk ???對(duì)于彈性散射 ， 動(dòng)能守恒 單