【正文】 2022年物理學院量子力學期終考試總復習課 考試時間：第二十周星期三下午 2： 30（ 1月 19號下午 2： 30） 考試地點： 西十二 N101（ 0801班） 西十二 N102（ 0802班） 考試方式：閉卷、 150分鐘 注意事項 只能提前 15分鐘 左右交卷 所有同學都要參加考試 不要夾帶任何復習資料 西十二 N103（ 0803班） 西十二 N104（ 0804班） 西十二 S101（ 0805班） 考試題型 簡答題（ 25分） 計算題（ 60分） 證明題（ 15分） 重要公式 本征值和本征態(tài)：（ a） 分立譜 一維無限深勢阱 一維線性諧振子 氫原子 能級 波函數(shù) 2( ) s i n , 0nnxx x aaa??? ? ???????22 22 , 1 , 2 ,2nE n na????1 , 0 , 1 , 2 ,2nE n n??? ? ??????? ? ? ? 2 /2n n nN H e ?? ?? ? ?,x????? ? ?422 2 2 2022ssn eeEn n a? ? ? ??? ? ? ?,n lm n l lmR r Y?? ? ?? ?22? ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , ) ( , ,? 1? )n l m n n l mn l m n l mn l m l mz nH r E rL l lLmrrrr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????????平均值公式： 已經(jīng)歸一化 ? ?r?完備性公式 幾率幅公式 平均值公式 分立譜 連續(xù)譜 ? ? ? ?nnnr c r? ??? ? ? ? ?*nnc r r d? ?? ? ? ? ? ? ?2 *? ?nnnF f c r F r d??? ?? ? ?? ? ? ?ffr c r d f? ??? ? ? ? ?*ffc r r d? ?? ? ? ? ? ? ?2 *? ?fF f c d f r F r d???? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 / 2?1( 2 )xxxxx p x pip xpp x p xxe??? ???（ b）連續(xù)譜 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,n n n f fF r f r F r f r? ? ? ???? ( ) ( )n n nH x E x???a) 非簡并 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 0 000?, , 1 ,mnn n nnmHH H H H E m nEE????? ? ? ? ? ??在 表象下， ?zS 112210,01?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 微擾理論（定態(tài)） ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?20 0 00 0 0 0, ,mn mnn n nn n n mm m n m m nn m n mH HE E HE E E E? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ?????b) 簡并 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 * 0? ?( ) ( )m n m n m nH H r H r d? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 1 0( 0 ) ( 0 )11, , 0 , , 1 , 2 , . . . ,kki n i n i i l i n l i iiiH E c H E c i l k? ? ? ? ????? ? ? ? ???角動量（軌道和自旋） 2222? ? ?? ? ?? ? ? ?14x y zL L i LS S i SSSS??????? 1 0 0 1 0? ? ?,0 1 1 0 02 2 2z x y iS S S i ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?對兩個 Fermi子體系 : ( ) ( )1( ) ( )000 , 1sASMsASAM?????? ???? ???? ?? ?1d e t 0ij nH E I? ?? * ?il l iH H d? ? ???? ?考慮自旋： ?? ?F F d? ? ?? ?第一章 緒論 掌握微觀粒子（光和實物粒子）的波粒二象性，并舉例說明。 （如：普朗克黑體輻射理論、光電效應、康普頓效應等） 掌握玻爾的量子理論的表述（三個假設）。 掌握德布羅意物質波假設的表述；德布羅意關系式。 掌握普朗克的能量子假設的表述。 掌握愛因斯坦的光量子假設的表述。 總復習要點 波粒二象性是微觀粒子的基本稟性，是量子理論的物理基礎。 由微觀粒子具有波粒二象的性質這個基本觀念出發(fā)，運用物理邏輯推理的思維，可以推論出貫穿全部量子理論的 3 個基本特征： 概率解釋 、 量子化現(xiàn)象 、 不確定關系 。 接著，采用 5 條假設： 波函數(shù)假設 、 基本方程假設 、 算符假設 、 測量假設 、全同性原理假設 ，就能邏輯地支撐起非相對論量子理論框架。 四個飛躍 第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 掌握薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程。 掌握定態(tài)的概念；定態(tài)的性質。 1掌握解一維無限深勢阱（能級、歸一化波函數(shù)）的步驟和方法。 掌握束縛態(tài)和非束縛態(tài)的概念；一維束縛定態(tài)的性質。 掌握波函數(shù)的物理內涵；波函數(shù)的模平方的物理意義；波函數(shù)應滿足的標準條件。 1掌握一維線性諧振子系統(tǒng)哈密頓量、能級、波函數(shù)以及宇稱的特點。 掌握簡并態(tài)（非簡并態(tài)）和簡并度的概念。 掌握宇稱、偶宇稱和奇守稱的概念。 掌握基態(tài)、激發(fā)態(tài)的概念。 掌握計算幾率流密度矢量的方法。 掌握波函數(shù)統(tǒng)計解釋的表述及物理意義。 掌握態(tài)迭加原理的表述及物理意義。 幾個重要概念 兩個原理 兩個假設 兩個模型 第三章 量子力學中的力學量 掌握動量算符及其本征函數(shù)、本征值。 掌握算符基本假定的表述；物理上可觀測量應該對應什么樣的算符及原因。 掌握坐標、動量及角動量算符的對易關系式。 掌握球坐標下角動量 z分量算符的表達式，并能解其本征值方程。 掌握角動量平方算符的本征值、本征函數(shù)。 掌握氫原子在波函數(shù)所描述的狀態(tài)下的能級、角動量平方、角動量 z分量的值、能級簡并度以及宇稱的特點。 掌握系統(tǒng)在某一狀態(tài)下求力學量平均值的方法（直接計算積分、或通過求該狀態(tài)在力學量本征函數(shù)展開式的方法、或 HF定理）。 1掌握若兩個或多個力學量具有一組共同本征函數(shù)集，且組成完全系，則算符間相互對易，反之亦然；力學量的完全集合的概念。 1掌握測不準關系的主要內容；均方偏差、均方根偏差的計算公式。 掌握求力學量可能取值及相應概率的方法 （測量基本假定）。 兩個假設 兩個定理 掌握厄密算符的定義；厄密算符的性質。 掌握守恒量的定義；守恒量的性質；守恒量與定態(tài)的區(qū)別。 兩個定義 四個算符 兩類公式 第四章 態(tài)和力學量的表象 掌握態(tài)的表象的概念。 掌握算符的矩陣表示；表示力學量算符的矩陣都是厄密矩陣。 掌握算符在其自身表象中是一個對角矩陣，對角元即算符的本征值。 掌握算符可以用幺正變換從一個表象變換到另一個表象，本征值、對易關 系、跡不變。 掌握由算符矩陣求其本征值和本征矢的方法。 掌握湮滅算符、產(chǎn)生算符、粒子數(shù)算符和占有數(shù)表象的描述方法。 掌握希爾伯特空間（態(tài)空間）的概念。 第五章 微擾理論 掌握非簡并定態(tài)微擾論求能量的一級、二級微擾修正和波函數(shù)一級修正的方法； 微擾論的適用條件。 掌握斯塔效應產(chǎn)生的原因。 掌握光的發(fā)射與吸收三種基本過程。 掌握簡并定態(tài)微擾論求能量的一級微擾修正和零級波函數(shù)的方法。 掌握黃金費米規(guī)則的表述內容。 掌握態(tài)密度的概念。 第六章 散射 兩種基本方法： 分波法、玻恩近似法的精髓和適用范圍。 三個基本概念： 微分散射截面，總散射截面，散射振幅。 第七章 自旋與全同粒子 掌握電子自旋算符的對易和反對易關系式。 掌握電子自旋算符及其本征態(tài)和本征值。 掌握泡利矩陣。 掌握全同粒子的概念、全同性原理的表述內容。 掌握自旋單態(tài)與三重態(tài)的表達式。 掌握簡單塞曼效應、復雜塞曼效應和光譜的精細結構產(chǎn)生的原因。 掌握提出電子自旋的實驗根據(jù)。 掌握電子自旋假設的表述內容。 掌握波色子和費米子的概念以及全同波色子和費米子波函數(shù)的對稱性要求。 掌握無耦合表象和耦合表象的描述方式。 1掌握仲氦和正氦的定義及其性質差異大、轉換效率低的原因。 3P 無磁場 無自旋假設 無磁場 考慮自旋軌道耦合 弱磁場 考慮自旋軌道耦合 強磁場 考慮了自旋，但忽略了 電子自旋與軌道的耦合 高分辨率的分光鏡 分辨率很高的光譜儀 高分辨率光譜儀 6條 4條 nm 3S 589 nm nm 2/33P2/13P2/13S2/1?2/3?2/1? 2/3?2/1? 2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?1?1?00001?1?D1 D2 ml ms 2/1?精細結構 反常塞曼效應 正常塞曼效應 例 5（第三章）坐標 分量算符與動量 分量算符 的對易關系是什么？并寫出兩者滿足的不確定關系。 簡答題范例 例 2（第二章） 簡述波函數(shù)的基體假定。 例 4（第三章） 物理上可觀測量應該對應什么樣的算符？為什么？ 答：微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系所有的性質。波函數(shù)一般應滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。 例 3 （第二章） 波函數(shù) 是用來描述什么的？ 的物理含義？ ? ?,rt? ? ?,rt?答：波函數(shù) 是用來描述體系量子狀態(tài)的復函數(shù)。 表示在 t時刻 r附近單位體積內找到粒子的概率。 ? ?,rt? ? ? 2,rt?答：物理上可觀測量對應線性厄米算符。線性是態(tài)疊加原理要求的，厄米算符的本征值是實數(shù)，可與（實數(shù)）觀測值比較。 x x ?xp答：對易關系為 ，不確定關系為 。 ? ??,xx p i? ? ? ? ?2224xxp????例 1（第一章）簡述普朗克的能量子假設。 答：對于一定頻率 的電磁輻射，物體只能以 為單位吸收或發(fā)射它。 v hv證明題范例 例 1（第二章）證明：一維束縛定態(tài)，能級非簡并，相應的能量本征函數(shù)總可以取為實函數(shù)。 ? ?2 1 1 2 C? ? ? ????? 常 數(shù)所以 ? ? ? ?12 0xx??? ? ? ? ? ?對一維束縛定態(tài) 0C?則 證 : 設 分別為屬于能級 的束縛態(tài)波函數(shù)。 12,?? E12,??均應滿足定態(tài) Schr246。dinger方程 （ 1） ? ?1122 ()m V x E???? ??（ 2） ? ?2222 ()m V x E???? ??222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????以 2? 1?左乘式（ 1）， 左乘以（ 2），再相減，即得 ? ?2 1 1 2 2 1 1 200ddx? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ?1212???????于是有 故 12????常 數(shù)222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????在量子力學中，如不作特別的聲明，都假定勢能 取實函數(shù)，即 ()Vx* ( ) ( )V x V x?如