【正文】 2022年物理學(xué)院量子力學(xué)期終考試總復(fù)習(xí)課 考試時(shí)間：第二十周星期三下午 2： 30（ 1月 19號(hào)下午 2： 30） 考試地點(diǎn)： 西十二 N101（ 0801班） 西十二 N102（ 0802班） 考試方式：閉卷、 150分鐘 注意事項(xiàng) 只能提前 15分鐘 左右交卷 所有同學(xué)都要參加考試 不要夾帶任何復(fù)習(xí)資料 西十二 N103（ 0803班） 西十二 N104（ 0804班） 西十二 S101（ 0805班） 考試題型 簡(jiǎn)答題（ 25分） 計(jì)算題（ 60分） 證明題（ 15分） 重要公式 本征值和本征態(tài)：（ a） 分立譜 一維無(wú)限深勢(shì)阱 一維線性諧振子 氫原子 能級(jí) 波函數(shù) 2( ) s i n , 0nnxx x aaa??? ? ???????22 22 , 1 , 2 ,2nE n na????1 , 0 , 1 , 2 ,2nE n n??? ? ??????? ? ? ? 2 /2n n nN H e ?? ?? ? ?,x????? ? ?422 2 2 2022ssn eeEn n a? ? ? ??? ? ? ?,n lm n l lmR r Y?? ? ?? ?22? ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , ) ( , ,? 1? )n l m n n l mn l m n l mn l m l mz nH r E rL l lLmrrrr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????????平均值公式： 已經(jīng)歸一化 ? ?r?完備性公式 幾率幅公式 平均值公式 分立譜 連續(xù)譜 ? ? ? ?nnnr c r? ??? ? ? ? ?*nnc r r d? ?? ? ? ? ? ? ?2 *? ?nnnF f c r F r d??? ?? ? ?? ? ? ?ffr c r d f? ??? ? ? ? ?*ffc r r d? ?? ? ? ? ? ? ?2 *? ?fF f c d f r F r d???? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 / 2?1( 2 )xxxxx p x pip xpp x p xxe??? ???（ b）連續(xù)譜 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,n n n f fF r f r F r f r? ? ? ???? ( ) ( )n n nH x E x???a) 非簡(jiǎn)并 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 0 000?, , 1 ,mnn n nnmHH H H H E m nEE????? ? ? ? ? ??在 表象下， ?zS 112210,01?? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 微擾理論（定態(tài)） ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?20 0 00 0 0 0, ,mn mnn n nn n n mm m n m m nn m n mH HE E HE E E E? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ?????b) 簡(jiǎn)并 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 * 0? ?( ) ( )m n m n m nH H r H r d? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 1 0( 0 ) ( 0 )11, , 0 , , 1 , 2 , . . . ,kki n i n i i l i n l i iiiH E c H E c i l k? ? ? ? ????? ? ? ? ???角動(dòng)量（軌道和自旋） 2222? ? ?? ? ?? ? ? ?14x y zL L i LS S i SSSS??????? 1 0 0 1 0? ? ?,0 1 1 0 02 2 2z x y iS S S i ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?對(duì)兩個(gè) Fermi子體系 : ( ) ( )1( ) ( )000 , 1sASMsASAM?????? ???? ???? ?? ?1d e t 0ij nH E I? ?? * ?il l iH H d? ? ???? ?考慮自旋： ?? ?F F d? ? ?? ?第一章 緒論 掌握微觀粒子（光和實(shí)物粒子）的波粒二象性，并舉例說(shuō)明。 （如：普朗克黑體輻射理論、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)等） 掌握玻爾的量子理論的表述（三個(gè)假設(shè)）。 掌握德布羅意物質(zhì)波假設(shè)的表述；德布羅意關(guān)系式。 掌握普朗克的能量子假設(shè)的表述。 掌握愛(ài)因斯坦的光量子假設(shè)的表述。 總復(fù)習(xí)要點(diǎn) 波粒二象性是微觀粒子的基本稟性，是量子理論的物理基礎(chǔ)。 由微觀粒子具有波粒二象的性質(zhì)這個(gè)基本觀念出發(fā)，運(yùn)用物理邏輯推理的思維，可以推論出貫穿全部量子理論的 3 個(gè)基本特征： 概率解釋 、 量子化現(xiàn)象 、 不確定關(guān)系 。 接著，采用 5 條假設(shè)： 波函數(shù)假設(shè) 、 基本方程假設(shè) 、 算符假設(shè) 、 測(cè)量假設(shè) 、全同性原理假設(shè) ，就能邏輯地支撐起非相對(duì)論量子理論框架。 四個(gè)飛躍 第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 掌握薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程。 掌握定態(tài)的概念；定態(tài)的性質(zhì)。 1掌握解一維無(wú)限深勢(shì)阱（能級(jí)、歸一化波函數(shù)）的步驟和方法。 掌握束縛態(tài)和非束縛態(tài)的概念；一維束縛定態(tài)的性質(zhì)。 掌握波函數(shù)的物理內(nèi)涵；波函數(shù)的模平方的物理意義；波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)條件。 1掌握一維線性諧振子系統(tǒng)哈密頓量、能級(jí)、波函數(shù)以及宇稱的特點(diǎn)。 掌握簡(jiǎn)并態(tài)（非簡(jiǎn)并態(tài)）和簡(jiǎn)并度的概念。 掌握宇稱、偶宇稱和奇守稱的概念。 掌握基態(tài)、激發(fā)態(tài)的概念。 掌握計(jì)算幾率流密度矢量的方法。 掌握波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋的表述及物理意義。 掌握態(tài)迭加原理的表述及物理意義。 幾個(gè)重要概念 兩個(gè)原理 兩個(gè)假設(shè) 兩個(gè)模型 第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量 掌握動(dòng)量算符及其本征函數(shù)、本征值。 掌握算符基本假定的表述；物理上可觀測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么樣的算符及原因。 掌握坐標(biāo)、動(dòng)量及角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系式。 掌握球坐標(biāo)下角動(dòng)量 z分量算符的表達(dá)式，并能解其本征值方程。 掌握角動(dòng)量平方算符的本征值、本征函數(shù)。 掌握氫原子在波函數(shù)所描述的狀態(tài)下的能級(jí)、角動(dòng)量平方、角動(dòng)量 z分量的值、能級(jí)簡(jiǎn)并度以及宇稱的特點(diǎn)。 掌握系統(tǒng)在某一狀態(tài)下求力學(xué)量平均值的方法（直接計(jì)算積分、或通過(guò)求該狀態(tài)在力學(xué)量本征函數(shù)展開(kāi)式的方法、或 HF定理）。 1掌握若兩個(gè)或多個(gè)力學(xué)量具有一組共同本征函數(shù)集，且組成完全系，則算符間相互對(duì)易，反之亦然；力學(xué)量的完全集合的概念。 1掌握測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容；均方偏差、均方根偏差的計(jì)算公式。 掌握求力學(xué)量可能取值及相應(yīng)概率的方法 （測(cè)量基本假定）。 兩個(gè)假設(shè) 兩個(gè)定理 掌握厄密算符的定義；厄密算符的性質(zhì)。 掌握守恒量的定義；守恒量的性質(zhì)；守恒量與定態(tài)的區(qū)別。 兩個(gè)定義 四個(gè)算符 兩類公式 第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象 掌握態(tài)的表象的概念。 掌握算符的矩陣表示；表示力學(xué)量算符的矩陣都是厄密矩陣。 掌握算符在其自身表象中是一個(gè)對(duì)角矩陣，對(duì)角元即算符的本征值。 掌握算符可以用幺正變換從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象，本征值、對(duì)易關(guān) 系、跡不變。 掌握由算符矩陣求其本征值和本征矢的方法。 掌握湮滅算符、產(chǎn)生算符、粒子數(shù)算符和占有數(shù)表象的描述方法。 掌握希爾伯特空間（態(tài)空間）的概念。 第五章 微擾理論 掌握非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論求能量的一級(jí)、二級(jí)微擾修正和波函數(shù)一級(jí)修正的方法； 微擾論的適用條件。 掌握斯塔效應(yīng)產(chǎn)生的原因。 掌握光的發(fā)射與吸收三種基本過(guò)程。 掌握簡(jiǎn)并定態(tài)微擾論求能量的一級(jí)微擾修正和零級(jí)波函數(shù)的方法。 掌握黃金費(fèi)米規(guī)則的表述內(nèi)容。 掌握態(tài)密度的概念。 第六章 散射 兩種基本方法： 分波法、玻恩近似法的精髓和適用范圍。 三個(gè)基本概念： 微分散射截面，總散射截面，散射振幅。 第七章 自旋與全同粒子 掌握電子自旋算符的對(duì)易和反對(duì)易關(guān)系式。 掌握電子自旋算符及其本征態(tài)和本征值。 掌握泡利矩陣。 掌握全同粒子的概念、全同性原理的表述內(nèi)容。 掌握自旋單態(tài)與三重態(tài)的表達(dá)式。 掌握簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng)、復(fù)雜塞曼效應(yīng)和光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的原因。 掌握提出電子自旋的實(shí)驗(yàn)根據(jù)。 掌握電子自旋假設(shè)的表述內(nèi)容。 掌握波色子和費(fèi)米子的概念以及全同波色子和費(fèi)米子波函數(shù)的對(duì)稱性要求。 掌握無(wú)耦合表象和耦合表象的描述方式。 1掌握仲氦和正氦的定義及其性質(zhì)差異大、轉(zhuǎn)換效率低的原因。 3P 無(wú)磁場(chǎng) 無(wú)自旋假設(shè) 無(wú)磁場(chǎng) 考慮自旋軌道耦合 弱磁場(chǎng) 考慮自旋軌道耦合 強(qiáng)磁場(chǎng) 考慮了自旋，但忽略了 電子自旋與軌道的耦合 高分辨率的分光鏡 分辨率很高的光譜儀 高分辨率光譜儀 6條 4條 nm 3S 589 nm nm 2/33P2/13P2/13S2/1?2/3?2/1? 2/3?2/1? 2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?1?1?00001?1?D1 D2 ml ms 2/1?精細(xì)結(jié)構(gòu) 反常塞曼效應(yīng) 正常塞曼效應(yīng) 例 5（第三章）坐標(biāo) 分量算符與動(dòng)量 分量算符 的對(duì)易關(guān)系是什么？并寫(xiě)出兩者滿足的不確定關(guān)系。 簡(jiǎn)答題范例 例 2（第二章） 簡(jiǎn)述波函數(shù)的基體假定。 例 4（第三章） 物理上可觀測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么樣的算符？為什么？ 答：微觀體系的狀態(tài)被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系所有的性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件。 例 3 （第二章） 波函數(shù) 是用來(lái)描述什么的？ 的物理含義？ ? ?,rt? ? ?,rt?答：波函數(shù) 是用來(lái)描述體系量子狀態(tài)的復(fù)函數(shù)。 表示在 t時(shí)刻 r附近單位體積內(nèi)找到粒子的概率。 ? ?,rt? ? ? 2,rt?答：物理上可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)線性厄米算符。線性是態(tài)疊加原理要求的，厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)，可與（實(shí)數(shù)）觀測(cè)值比較。 x x ?xp答：對(duì)易關(guān)系為 ，不確定關(guān)系為 。 ? ??,xx p i? ? ? ? ?2224xxp????例 1（第一章）簡(jiǎn)述普朗克的能量子假設(shè)。 答：對(duì)于一定頻率 的電磁輻射，物體只能以 為單位吸收或發(fā)射它。 v hv證明題范例 例 1（第二章）證明：一維束縛定態(tài)，能級(jí)非簡(jiǎn)并，相應(yīng)的能量本征函數(shù)總可以取為實(shí)函數(shù)。 ? ?2 1 1 2 C? ? ? ????? 常 數(shù)所以 ? ? ? ?12 0xx??? ? ? ? ? ?對(duì)一維束縛定態(tài) 0C?則 證 : 設(shè) 分別為屬于能級(jí) 的束縛態(tài)波函數(shù)。 12,?? E12,??均應(yīng)滿足定態(tài) Schr246。dinger方程 （ 1） ? ?1122 ()m V x E???? ??（ 2） ? ?2222 ()m V x E???? ??222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????以 2? 1?左乘式（ 1）， 左乘以（ 2），再相減，即得 ? ?2 1 1 2 2 1 1 200ddx? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ?1212???????于是有 故 12????常 數(shù)222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????在量子力學(xué)中，如不作特別的聲明，都假定勢(shì)能 取實(shí)函數(shù)，即 ()Vx* ( ) ( )V x V x?如