【正文】 31 1 0 1? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ???( 0 ) ( 0 )2 2 2 30 0 011 1 1 23 , 1 1 03 3 3 32 012? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ???例 8. 已知體系的哈密頓量在某力學(xué)量表象中表示為 0 1 0 0 0 01 0 1 0 020 1 0 0 0Hii? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?00 1 0 0 0 01 0 1 , 0 020 1 0 0 0H H ii? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?其中 ，試用微擾方法求解定態(tài)（要求準確到一級近似）和相應(yīng)的能量（要求準確到二級近似）。 ? ? ２＝ － ２ + Ｃ ， ２ １ ＋ Ｃ 　2103 0 4 3 00 0 2CC?? ? ? ?????? ? ? ? ?????2ＣＣ =(C2 )(2) 用微擾理論求能量至二級修正 得到： ? ?d e t 0HI???解 ： (1) H的本征值是方程 的根 (1) 求 H的精確本征值； (2) 用微擾理論求能量至二級修正。總磁矩的 z分量 的平均值為 zM式中 為 Bohr磁子。相應(yīng)的概率即為展開式中本征態(tài)前面的系數(shù)的模的平方。 （ 1） 球諧函數(shù) 是算符 和 的共同本征函數(shù)： ? ?,lmY ??2?L ?zL? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ?, 1 , , , ,l m l m z l m l mL Y l l Y L Y m Y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?角動量平方 角動量 z分量 可能取值 幾率 平均值 ? ? 223 3 1 1 2??5 1 29 9 3??135 1 89 3 9??? ? 222 2 1 6?? 01928 8 /9（ 2）因為算符 與 是對易的，所以兩者有共同本征函數(shù)系，并且可以同時取確定值。 ( 2 ) 。 v hv證明題范例 例 1（第二章）證明：一維束縛定態(tài)，能級非簡并，相應(yīng)的能量本征函數(shù)總可以取為實函數(shù)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。 掌握提出電子自旋的實驗根據(jù)。 第六章 散射 兩種基本方法： 分波法、玻恩近似法的精髓和適用范圍。 掌握湮滅算符、產(chǎn)生算符、粒子數(shù)算符和占有數(shù)表象的描述方法。 掌握求力學(xué)量可能取值及相應(yīng)概率的方法 （測量基本假定）。 掌握算符基本假定的表述；物理上可觀測量應(yīng)該對應(yīng)什么樣的算符及原因。 1掌握一維線性諧振子系統(tǒng)哈密頓量、能級、波函數(shù)以及宇稱的特點。 總復(fù)習(xí)要點 波粒二象性是微觀粒子的基本稟性，是量子理論的物理基礎(chǔ)。 掌握德布羅意物質(zhì)波假設(shè)的表述；德布羅意關(guān)系式。 1掌握解一維無限深勢阱（能級、歸一化波函數(shù)）的步驟和方法。 掌握波函數(shù)統(tǒng)計解釋的表述及物理意義。 掌握系統(tǒng)在某一狀態(tài)下求力學(xué)量平均值的方法（直接計算積分、或通過求該狀態(tài)在力學(xué)量本征函數(shù)展開式的方法、或 HF定理）。 掌握算符在其自身表象中是一個對角矩陣，對角元即算符的本征值。 掌握簡并定態(tài)微擾論求能量的一級微擾修正和零級波函數(shù)的方法。 掌握全同粒子的概念、全同性原理的表述內(nèi)容。 3P 無磁場 無自旋假設(shè) 無磁場 考慮自旋軌道耦合 弱磁場 考慮自旋軌道耦合 強磁場 考慮了自旋，但忽略了 電子自旋與軌道的耦合 高分辨率的分光鏡 分辨率很高的光譜儀 高分辨率光譜儀 6條 4條 nm 3S 589 nm nm 2/33P2/13P2/13S2/1?2/3?2/1? 2/3?2/1? 2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?1?1?00001?1?D1 D2 ml ms 2/1?精細結(jié)構(gòu) 反常塞曼效應(yīng) 正常塞曼效應(yīng) 例 5（第三章）坐標 分量算符與動量 分量算符 的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的不確定關(guān)系。 x x ?xp答：對易關(guān)系為 ，不確定關(guān)系為 。dinger方程 *()x?22**2 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????根椐前面已證明的結(jié)論：一維束縛定態(tài)，能級非簡并，即 * ( ) ( )x C x???2* * *( ) ( ) ( ) ( )x C x C C x C x? ? ? ?? ? ?? ?221 ( ) 0 1 iC x C C e ??? ? ? ? ? ?01C? ? ? ?總可以選取 故 * ( ) ( )xx???于是有 例 2（第三章）證明厄密算符的本征值為實數(shù)。33 3c c c? ? ? ?其余的 。 0 / 2xa????? c oss in2)2s in( ?解： (1)首先對波函數(shù)歸一化得 ( ) ( )x A x???? ? 22 200 4 1 c o s s i n 15aa xxA x d x A d xa a a??? ??????? ? ??????????? 2A?所以此系統(tǒng)得歸一化波函數(shù)為 ： 8( ) 1 c o s s in5xxxa a a??? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???22 22 , 1 , 2 ,2nE n na????是定態(tài)波函數(shù) ? ? ? ?,? xExH nnn ?? ?所以， 粒子處在 的概率 ： P0 / 2xa??2 2 2 22221 2 1 20 0 0 04 1 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5a a a aP x d x x d x x d x x x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 s i n ( 2 ) s i n c o s c o s 3? ? ? ???a / 2121 1 1P = + ψ (x) ψ ( x ) d x = + s i n ( 2 ξ ) s i n ξ d ξ =2 5 2 5 π 2 1 5 π/2004 8 1 6? ????1221( ) ( ) ( )5 1 0x A x A x? ? ?? ? ? ?/2 220 / 2( ) ( ) 1 / 2aannax d x x d x?? ????2( ) s in , 0 ,nnxx x aaa ?? ??? ? ?????其中 因為 ： 1221( ) ( ) ( )55x x x? ? ??? 20( ) 1a n x dx? ??(2) 能量的平均值為 ： 21155???????222 22E a???概率為 ： 2 2 2 2 2 212 2 2 24 1 4 1 4+25 5 5 2 5 5E E E a a a? ? ?? ? ?? ? ? ? ?概率為 ： 224。 zM? ? ? ?? ?102111,2,YRrY???????? ?????解： 先求題給態(tài)的歸一化系數(shù)，由于 的歸一化， ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 1 1, , , ,R r Y Y? ? ? ?故將題給態(tài)歸一化為 （ 2）電子在 方向上的立體角元 中被測到的幾率為 ? ?,?? ?d? ? ? ? ? ?2*3 11 2 1 3c r c r d r c c??? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0122 1 1 11,32,3R r YR r Y??????????????? ???? ?????（ 1）電子自旋向上的幾率為 。 ( , 0 ) 。 1??? ?2? ? 不簡并， 和 構(gòu)成一個二重簡并能級。 則系統(tǒng)的本征函數(shù)為： )()( yxmn ??? ? 2x /2x( ) ,n n nx N H e ??? ?? ? ? 2y /2yy ( )m m mN H e ??? ??y,yyxx x????????系統(tǒng)的能量本征值為： 1122??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n ,m x yE n mn, m=0, 1, 2, 3, … ? ?1 11E ???簡并度為 2 1 1 02 0 1( ) ( )( ) ( )xyxy? ? ?? ? ???系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài) 第二激發(fā)態(tài) 簡并度為 3 ? ?2 21E ???1 1 12 2 03 0 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )xyxyxy? ? ?? ? ?? ? ????其中 (2) 當(dāng) 時， ? ? ???xy N=0, 1, 2, 3, … ? ? N1?? ? ?n ,mE N E ??N n m其中 (3) 當(dāng) 時，任意能級 ? ?N N1E ???簡并度為 111 ??? NCN n mN n m( ) ( )xy? ? ??? ? ???xy 其中 ??N n m例 11. 耦合諧振子的 Hamilton量為 ? ? ? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 21122H p p m x x x xm ??? ? ? ? ?其中 、 和 、 分屬于不同的自由度，設(shè) ，試求這耦合諧振子的能級。 ? ? 2 1010x x m???解：線性諧振子的能量本征函數(shù)和能量本征值是 22 22211? , , 0 , 1 , 2 ,2 2 2ndH x E n ndx ? ? ????? ? ? ? ? ?????2 2 2?1 2 1 2, ( )22nE Hn x x V x? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?利用 HF定理計算 ： 取 ???2x?nE H??? ????由 HF定理 12 ()2n V x?????????221 1 1()2 2 2V x x n? ? ???? ? ?????得到 ? ? ? ? ? ? 2* 0n n nx x x x d x x x d x? ? ?? ? ???利用波函數(shù) 的宇稱性得到： ? ?n x? ? ? ? ? ? ?1nnnxx??? ? ?對于線性諧振子基態(tài)而言 2221124 2x x? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 2 1 0 2 2 。 ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2,n n n nx x x x? ? ??12, 0 , 1 , 2 ,nn ? ??????其中 為一維諧振子的能量本征函數(shù)。對于 能級可用非簡并微擾論： 1? 2? (0) 2E ? (0)1E(1 )1 1 1 0EH???2 2 2 21 2 1 3 1( 2 ) 21 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),1 1 1 2 1 340 41 2 1 2mmm mH H HEE E E E E E? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??( 1 ) ( 0 )1 3 1211 1 2( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ),