【正文】 果 滿足定態(tài) Schr246。dinger方程 ()x?則 也滿足定態(tài) Schr246。dinger方程 *()x?22**2 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????根椐前面已證明的結(jié)論：一維束縛定態(tài)，能級非簡并，即 * ( ) ( )x C x???2* * *( ) ( ) ( ) ( )x C x C C x C x? ? ? ?? ? ?? ?221 ( ) 0 1 iC x C C e ??? ? ? ? ? ?01C? ? ? ?總可以選取 故 * ( ) ( )xx???于是有 例 2（第三章）證明厄密算符的本征值為實數(shù)。 證： 若 ， 由厄米算符的定義得 ?F? ???? ? ** ? ?F d F d? ? ? ? ? ????2**?F d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?左? ? ? ?* 2* * * *?F d d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?右? ? 2* 0d? ? ? ?? ? ??2 0d?? ??*????例 3（第三章）證明在 態(tài)中， 和 的平均值等于零。 ? ?,lmY ???xp ?yp證： 為 的本征態(tài)，屬于本征值 ，則 ?zL m利用基本對易式 ?? ? ? ? ?,y z y y x xp L p x p y p i p?? ??? ? ?????在 態(tài)下求平均值，即得 ** 1 ?? ? ? ,x l m x l m l m y z l mp Y p Y d Y p L Y di ??? ? ? ?????? ?******11? ?? ?1?? ?? ? 0lm y z lm lm z y lmlm y lm z lm y lmlm y lm lm y lmY p L Y d Y L p Y diimY p Y d L Y p Y diimmY p Y d Y p Y dii? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??????z lm lmL Y m Y?類似地，將對易式 ?? ? ? ? ?,x z x y x yp L p x p y p i p?? ??? ? ? ?????在 態(tài)下求平均值，可證 . ? 0yp ?? ?,lmY ??? ?,lmY ??? ?,lmY ??計算題范例 例 1. 設(shè)體系的哈密頓算符為 ? ?2 2 2 2 212? ? 11? ? ? ? ? ?( 1 ) 。 ( 2 ) 。 ( 3 )2 2 2 2zx y zL LH H H L L LI I I I? ? ? ? ?利用適當(dāng)?shù)淖儞Q求出體系的能量本征值和相應(yīng)的本征態(tài)。 解： （ 3） 將哈密頓算符改寫為 ? ?2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 11 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2x y z z zH L L L L L LI I I I I I? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?221 2 12 2 21 2 11 1 1? ? ?,2 2 21 1 11,2 2 2l m z l mlmH Y L L YI I Il l m YI I I? ? ? ????? ??? ? ??? ???????? ??? ? ? ??? ??????進(jìn)而可知能量本征值為 ? ? 2 2 21 2 11 1 11,2 2 2lmE l l mI I I??? ? ? ?????顯然， 構(gòu)成力學(xué)量完全集，且其共同本征函數(shù)系為 ，于是 ? ?2? ? ?, zH L L ? ?? ?,lmY ??相應(yīng)的本征態(tài)為球諧函數(shù) 。 ? ?,lmY ??0 , 1 , 2 , 3 ,0 , 1 , 2 , 3 , ,lml?? ? ? ? ?例 2. 若粒子處于狀態(tài) ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 0 3 15 1 1, , , ,33 3Y Y Y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?求（ 1）在 上分別測量 和 的可能取值與相應(yīng)的取值概率； ? ?,? ? ? ?zL2?L（ 2）在 上同時測量 和 ，測得 和 的概率； ? ?,? ? ? 2?L ?zL 221 2 , zLL??226, zLL??（ 3）先在 上測量 得到 后，緊接著測量 的可能取值與相應(yīng)的取值概率； ? ?,? ? ? 2?L ?zL212（ 4）先在 上測量 得到 后，緊接著測量 的可能取值與相應(yīng)的取值概率。 ? ?,? ? ? 2?L?zL解：首先，判斷 是否是歸一化的狀態(tài)，由 ? ?,? ? ?? ? ? ?,lm lmlmcY? ? ? ? ?? ?知 2 1 2 0 3 15 1 1。33 3c c c? ? ? ?其余的 。于是有 0lmc ?2 5 1 1 1993lmlm c ? ? ? ??所以 已經(jīng)是歸一化的狀態(tài)。 ? ?,? ? ?其次，計算各種條件之下各力學(xué)量的可能取值和取值概率。 （ 1） 球諧函數(shù) 是算符 和 的共同本征函數(shù)： ? ?,lmY ??2?L ?zL? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ?, 1 , , , ,l m l m z l m l mL Y l l Y L Y m Y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?角動量平方 角動量 z分量 可能取值 幾率 平均值 ? ? 223 3 1 1 2??5 1 29 9 3??135 1 89 3 9??? ? 222 2 1 6?? 01928 8 /9（ 2）因為算符 與 是對易的，所以兩者有共同本征函數(shù)系，并且可以同時取確定值。相應(yīng)的取值概率分別為 2?L ?zL? ? 222 21 5?6, 9zW L L c? ? ? ?? ? 222 31 1?1 2 , 3zW L L c? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?21 20 31315 1 1, , , ,33 3,Y Y YY? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??（ 3）在狀態(tài) 上測量 得 后，狀態(tài) 已經(jīng)變到的 本征態(tài) 上，而它恰好是 的對應(yīng)本征值 的本征態(tài)上，所以這時再測量 必將得到確定值 ，或者說，測量值為 的概率是 1。但是，由于在狀態(tài) 上測量 得 的概率為 ，所以從 出發(fā)測得 的值為 的概率應(yīng)是 。 ? ?,? ? ? 2?L ? ?221 2 3Ll?? ? ?,? ? ?2?L ? ?31 ,Y ?? ?zL zL ??zL? ?,? ? ? 2?L ? ?221 2 3Ll?? 13 ? ?,? ? ??zL 13（ 4）在狀態(tài) 上測量 后，使得狀態(tài)變到一個新的狀態(tài) ? ?,? ? ?zL ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 2 0 3 12 1 3 15 1 1, , , ,33 351, , ,3 3Y Y YYY? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?為了求出在 上 的可能取值及相應(yīng)的取值概率，必須將 歸一化，即令 2?L? ?,? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?21 3151, , ,3 3A Y Y? ? ? ? ? ? ?????????于是由 2 51 193A????????歸一化后的 為 ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 3 153, , ,88YY? ? ? ? ? ? ???知 98A?在狀態(tài) 上測量 的可能取值為 和 的取值概率分別為 ? ?,? ? ? 2?L 26 212? ?22 56 8WL? ??? ?22 312 8WL? ??而從狀態(tài) 出發(fā)，相應(yīng)的取值概率分別為 ? ?,? ? ?? ?22 8 5 56 9 8 9WL ? ? ? ?? ?22 8 3 112 9 8 3WL ? ? ? ?4( ) 1 c o s s in5xxxa a a??? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???例 3. 一維無限深勢阱（ ） 中的粒子處于狀態(tài) ax??0求 (1)粒子處于 內(nèi)的概率 。 (2) 求此時測粒子能量得到的可能值、相應(yīng)的概率及能量的平均值。 0 / 2xa????? c oss in2)2s in( ?解： (1)首先對波函數(shù)歸一化得 ( ) ( )x A x???? ? 22 200 4 1 c o s s i n 15aa xxA x d x A d xa a a??? ??????? ? ??????????? 2A?所以此系統(tǒng)得歸一化波函數(shù)為 ： 8( ) 1 c o s s in5xxxa a a??? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???22 22 , 1 , 2 ,2nE n na????是定態(tài)波函數(shù) ? ? ? ?,? xExH nnn ?? ?所以， 粒子處在 的概率 ： P0 / 2xa??2 2 2 22221 2 1 20 0 0 04 1 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5a a a aP x d x x d x x d x x x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 s i n ( 2 ) s i n c o s c o s 3? ? ? ???a / 2121 1 1P = + ψ (x) ψ ( x ) d x = + s i n ( 2 ξ ) s i n ξ d ξ =2 5 2 5 π 2 1 5 π/2004 8 1 6? ????1221( ) ( ) ( )5 1 0x A x A x? ? ?? ? ? ?/2 220 / 2( ) ( ) 1 / 2aannax d x x d x?? ????2( ) s in , 0 ,nnxx x aaa ?? ??? ? ?????其中 因為 ： 1221( ) ( ) ( )55x x x? ? ??? 20( ) 1a n x dx? ??(2) 能量的平均值為 ： 21155???????222 22E a???概率為 ： 2 2 2 2 2 212 2 2 24 1 4 1 4+25 5 5 2 5 5E E E a a a? ? ?? ? ?? ? ? ? ?概率為 ： 224。55???????能量的可能值為 ： 221 22E a???思考題： 設(shè)一維無限深勢阱中運(yùn)動粒子的波函數(shù)為 ? ? ? ?24 s i n c o s 0xxx x aaaa ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?求在此任意態(tài)下，粒子能量的可能測量值和相應(yīng)的幾率。 可以把 分解如