【正文】 , 1sASMsASAM?????? ???? ???? ?? ?1d e t 0ij nH E I? ?? * ?il l iH H d? ? ???? ?考慮自旋： ?? ?F F d? ? ?? ?第一章 緒論 掌握微觀粒子（光和實物粒子）的波粒二象性，并舉例說明。 四個飛躍 第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 掌握薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程。 掌握基態(tài)、激發(fā)態(tài)的概念。 掌握角動量平方算符的本征值、本征函數(shù)。 兩個定義 四個算符 兩類公式 第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象 掌握態(tài)的表象的概念。 掌握斯塔效應(yīng)產(chǎn)生的原因。 掌握電子自旋算符及其本征態(tài)和本征值。 掌握無耦合表象和耦合表象的描述方式。 ? ?,rt? ? ? 2,rt?答：物理上可觀測量對應(yīng)線性厄米算符。dinger方程 （ 1） ? ?1122 ()m V x E???? ??（ 2） ? ?2222 ()m V x E???? ??222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????以 2? 1?左乘式（ 1）， 左乘以（ 2），再相減，即得 ? ?2 1 1 2 2 1 1 200ddx? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ?1212???????于是有 故 12????常 數(shù)222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????在量子力學(xué)中，如不作特別的聲明，都假定勢能 取實函數(shù)，即 ()Vx* ( ) ( )V x V x?如果 滿足定態(tài) Schr246。 ? ?,lmY ??0 , 1 , 2 , 3 ,0 , 1 , 2 , 3 , ,lml?? ? ? ? ?例 2. 若粒子處于狀態(tài) ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 0 3 15 1 1, , , ,33 3Y Y Y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?求（ 1）在 上分別測量 和 的可能取值與相應(yīng)的取值概率； ? ?,? ? ? ?zL2?L（ 2）在 上同時測量 和 ，測得 和 的概率； ? ?,? ? ? 2?L ?zL 221 2 , zLL??226, zLL??（ 3）先在 上測量 得到 后，緊接著測量 的可能取值與相應(yīng)的取值概率； ? ?,? ? ? 2?L ?zL212（ 4）先在 上測量 得到 后，緊接著測量 的可能取值與相應(yīng)的取值概率。 ? ?,? ? ? 2?L ? ?221 2 3Ll?? ? ?,? ? ?2?L ? ?31 ,Y ?? ?zL zL ??zL? ?,? ? ? 2?L ? ?221 2 3Ll?? 13 ? ?,? ? ??zL 13（ 4）在狀態(tài) 上測量 后，使得狀態(tài)變到一個新的狀態(tài) ? ?,? ? ?zL ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 2 0 3 12 1 3 15 1 1, , , ,33 351, , ,3 3Y Y YYY? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?為了求出在 上 的可能取值及相應(yīng)的取值概率，必須將 歸一化，即令 2?L? ?,? ? ? ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?21 3151, , ,3 3A Y Y? ? ? ? ? ? ?????????于是由 2 51 193A????????歸一化后的 為 ? ?,? ? ?? ? ? ? ? ?2 1 3 153, , ,88YY? ? ? ? ? ? ???知 98A?在狀態(tài) 上測量 的可能取值為 和 的取值概率分別為 ? ?,? ? ? 2?L 26 212? ?22 56 8WL? ??? ?22 312 8WL? ??而從狀態(tài) 出發(fā)，相應(yīng)的取值概率分別為 ? ?,? ? ?? ?22 8 5 56 9 8 9WL ? ? ? ?? ?22 8 3 112 9 8 3WL ? ? ? ?4( ) 1 c o s s in5xxxa a a??? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???例 3. 一維無限深勢阱（ ） 中的粒子處于狀態(tài) ax??0求 (1)粒子處于 內(nèi)的概率 。 123E1E例 4. 已知氫原子處于由如下波函數(shù)描述的狀態(tài) 其中 為歸一化徑向波函數(shù)（量子數(shù) ）。 解：非對稱一維無限深方勢阱中粒子的本征解為 22 22 ( 1 , 2 , 3 , )2nE n na????2 s innn xaa?? ??? ????(阱內(nèi) ) (1) 首先將 ( ,0 )x? 歸一化，由 2 2 221 1 1 12 4 4 c??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???可知歸一化常數(shù)為 83c?于是歸一化后的波函數(shù)為 1 2 32 1 1( , 0 ) ( ) ( ) ( )3 6 6x x x x? ? ? ?? ? ?能量的取值概率為 能量取其它值的概率皆為零。零級近似能量為 0H 0HH( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 2 31 , 2E E E? ? ?其中 。 1 1? ? 2 3? ? 2?? ? ? ?2 1 01 1 1 51 2 03333 0 0 3 3iii i i i i i i iii? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?222 1 0 2 1 0 2 1 01 1 1 111 2 0 1 2 0 1 2 03333 0 0 3 0 0 3 0 0 3 3iii i i i i i i i? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 1 2 5 2 23 9 3? ? ?? ? ? ? ? ?2) 例 10. 兩維諧振子的哈密頓量表示為： ? ?222 2 2 212 2 2yxxypp m x ymm? ? ?? ? ? ?1 , 0 , 1 , 2 ,2nE n n???? ? ?????? ? 2 /2()n n nN H e ?? ? ? ???????? ?? ,x其中： ? ? 22)1( ?? ?? ??? eddeH nnnn厄米多項式 (1) 求出系統(tǒng)的能級和能量本征態(tài)； (2) 當(dāng) 時，給出第一，二激發(fā)態(tài)的簡并度； (3) 當(dāng) 時，總結(jié)出任意能級 的簡并度。 xxp? ??? ? ? ?? ?22 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ? ? ?212x a a a a a a a aa a a a? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ?2 2 2 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 122? ? ? ?22 2 2 2122x a a a a a a a aa a an n n nn n n nnnannnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???????????????其次，計算 ： 22?, xxp1?? nnna?11 ???? nnna?? ?a a n n n? ?? ?,1aa??????? ? ? ?? ?22 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ? ? ?212xp a a a a a a a aa a a a? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?2 2 2 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 122? ? ? ?22 2 2 2122xn n n nnp a a a an n n n na a a aa a a a n nnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????????? ? ? ? ? ?????? ? ????????222 12x x x x n????? ? ? ? ? ?????于是有 222 12x x x xp p p p n????? ? ? ? ? ?????1 1 12 2 2xx p n n n????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1?? nnna?11 ???? nnna?? ?a a n n n? ?? ?,1aa??????解法二 ：利用波函數(shù) 的宇稱性得到： ? ?n x? ? ? ? ? ? ?1nnnxx??? ? ?? ? ? ? ? ? 2* 0n n nx x x x d x x x d x? ? ?? ? ???** ?? ? ,0x n x n n np p d x x H d xi?? ? ? ???? ? ?????22 22211? ,2 2 2ndH x E ndx ? ? ????? ? ? ? ?????一維諧振子 Hamilton 量： 2 2 2?1 2 1 2, ( )22nE Hn x x V x? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?利用 HF定理計算 ： 取 ???22?,xxp?nE H??? ????由 HF定理 221 2 2 1()22n V x x??????? ? ?????2 12xn ??????????得到 0, 1, 2,n ?12nE n ?? ??????? ??取 ： ??22 2 2 2 2222 2 2? ?1 2 22 2 2 2xpH d d dxd x d x d x??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ???nE H? ????由 HF定理 222 12x x x xp p p p n ????? ? ? ? ? ?????1 1 12 2 2xx p n n n????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1?2xpn ??????????2?1222xpn ??????????得到 222 12x x x x n ????? ? ? ? ? ?????于是有 顯然式（ 1）和（ 2）是一致的。令 ? ?1 1 21 ,2x y y?? ? ?2 1 212x y y??即 ? ?1 1 21 ,2y x x?? ? ?2 1 212y x x??(6) (6’) 容易證明 2 2 2 21 2 1 2x x y y? ? ?? ?221