【正文】 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5a a a aP x d x x d x x d x x x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 s i n ( 2 ) s i n c o s c o s 3? ? ? ???a / 2121 1 1P = + ψ (x) ψ ( x ) d x = + s i n ( 2 ξ ) s i n ξ d ξ =2 5 2 5 π 2 1 5 π/2004 8 1 6? ????1221( ) ( ) ( )5 1 0x A x A x? ? ?? ? ? ?/2 220 / 2( ) ( ) 1 / 2aannax d x x d x?? ????2( ) s in , 0 ,nnxx x aaa ?? ??? ? ?????其中 因為 ： 1221( ) ( ) ( )55x x x? ? ??? 20( ) 1a n x dx? ??(2) 能量的平均值為 ： 21155???????222 22E a???概率為 ： 2 2 2 2 2 212 2 2 24 1 4 1 4+25 5 5 2 5 5E E E a a a? ? ?? ? ?? ? ? ? ?概率為 ： 224。 ? ?1 2 2 3si n si n2xxa a a a??????????? ? ? ?1312 xx????????其中， 為無限深勢阱中粒子能量的本征函數(shù)。 zM? ? ? ?? ?102111,2,YRrY???????? ?????解： 先求題給態(tài)的歸一化系數(shù)，由于 的歸一化， ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 1 1, , , ,R r Y Y? ? ? ?故將題給態(tài)歸一化為 （ 2）電子在 方向上的立體角元 中被測到的幾率為 ? ?,?? ?d? ? ? ? ? ?2*3 11 2 1 3c r c r d r c c??? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0122 1 1 11,32,3R r YR r Y??????????????? ???? ?????（ 1）電子自旋向上的幾率為 。 B?2222 1 12 3 6 6 3z z z z zBe e eM L S L Se e e? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????從而題給態(tài)下的電流密度為 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 2 222 1 1 1 1 1..21. . 02 s in12s in 3eJ r r c cieer r r r c c eireR r Y Y er?????? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ????? ? ?????? ? ? ? ? ? ????（ 5）根據(jù)帶 自旋粒子的薛定諤方程（也即 Pauli方程），相應于波函數(shù) 的電子幾率流密度為 ?21 ?? ? ? ? ..2 r r c ci ??? ??????? ? ? ? ?? ?2*ln2r rJir? ???????????11s inre e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 11 1 3 2 2 3c o s , s i n3 3 4 3 3 8 iR r Y R r R r Y R r e ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?例 5. 質(zhì)量為 m 的粒子，在阱寬為 0t?的非對稱一維無限深方勢阱中運動，當 a時，粒子處于狀態(tài) 1 2 31 1 1( , 0 ) ( ) ( ) ( )2 4 4x x x x? ? ? ?? ? ?其中， ()n x?為粒子的第 n 個能量本征態(tài)。 ( , 0 ) 。 這里 是一個實數(shù)， 。 1??? ?2? ? 不簡并， 和 構(gòu)成一個二重簡并能級。 , 0 ,? ? ? ?? ??解：將題給體系的哈密頓量分解為 ，其中 0H H H ???? ? ? ? ? ?0 0 01 2 3, 0 ,E E E??? ? ? ?由 的方程解得零級能量 0H是非簡并，其相應的零級能量本征態(tài)為 （ 1） ? ? ? ? ? ?0 0 01 2 311 11 1 12 0 222 21 1 1? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?； ；? ? ? ?? ?? ?0011 1 110001 , 2 , 1 0 0 240 0 110 , , 2 2 041H H iiii???????????????? ? ? ? ?????? ???? ??????? ? ? ???????零級非簡并，故按非簡并微擾計算，我們需要計算微擾項在零級能量本征態(tài)空間的矩陣元，如下先計算 11H?2 2 3 3 1 2 2 30 , 0 , ,22iiH H H H??? ? ? ?? ? ? ? ? ?類似地，我們可以得到 以及 1322iH ?? ?（ 2） 的厄米性，其余的項按 給出 ij jiHH????H?將上述諸 的值代入（ 3）與（ 4）兩式，得第一能級的能量為 ijH?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?000 31211 1 2 30 0 0 01 2 1 3HHE E E E? ? ? ???? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ? ?220 21 311 1 11 0 0 0 01 2 1 3HHE E HE E E E???? ? ? ???21 2E???? ? ?（ 3） （ 4） （ 5） 按非簡并微擾論能量精確到二級和態(tài)矢量精確到一級近似的計算公式為 20220222022iiiiii?????????????????????通過類似計算可得另外 2個能級能量分別為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0002 2 1 30 0 03 3 1 2,22222iiii??? ? ? ?????? ? ? ???? ? ?? ? ?2230, 2EE???? ? ?相應的本征態(tài)為 ? ? ? ? ? ?? ?? ?0 0 01 1 2 31 2 212222 221 3 2 2iiiii????? ? ? ? ? ?? ????????? ? ? ? ? ????????相應的本征態(tài)為 （ 6） 2 1 01 2 0003??????????例 9. 考慮一個系統(tǒng)的 哈密頓量 ，在選定的一組正交歸一基下的矩陣形式為： （ 1）當測量系統(tǒng)的能量時，可能的結(jié)果是什么？ 求 13iii????????????（ 2）一個粒子處于態(tài) ，在這組基的表象下表示為 。 則系統(tǒng)的本征函數(shù)為： )()( yxmn ??? ? 2x /2x( ) ,n n nx N H e ??? ?? ? ? 2y /2yy ( )m m mN H e ??? ??y,yyxx x????????系統(tǒng)的能量本征值為： 1122??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n ,m x yE n mn, m=0, 1, 2, 3, … ? ?1 11E ???簡并度為 2 1 1 02 0 1( ) ( )( ) ( )xyxy? ? ?? ? ???系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài) 第二激發(fā)態(tài) 簡并度為 3 ? ?2 21E ???1 1 12 2 03 0 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )xyxyxy? ? ?? ? ?? ? ????其中 (2) 當 時， ? ? ???xy N=0, 1, 2, 3, … ? ? N1?? ? ?n ,mE N E ??N n m其中 (3) 當 時，任意能級 ? ?N N1E ???簡并度為 111 ??? NCN n mN n m( ) ( )xy? ? ??? ? ???xy 其中 ??N n m例 11. 耦合諧振子的 Hamilton量為 ? ? ? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 21122H p p m x x x xm ??? ? ? ? ?其中 、 和 、 分屬于不同的自由度，設 ，試求這耦合諧振子的能級。令 ? ?1 1 21 ,2x y y?? ? ?2 1 212x y y??即 ? ?1 1 21 ,2y x x?? ? ?2 1 212y x x??(6) (6’) 容易證明 2 2 2 21 2 1 2x x y y? ? ?? ?221 2 1 212x x y y??2 2 2 22 2 2 21 2 1 2x x y y? ? ? ????? ? ? ?(7) 因此， Hamilton 量可以表示成 ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2221212 2 2H m y y y ym y y??????? ? ? ? ? ? ???????2 2 2 2 2 2 21 1 2 22212112 2 2m y m ym y y ??????? ? ? ? ???????其中 221 ,m????? 222 ,m?????(8) (9) 式（ 8）正是兩個獨立諧振子（頻率 ， ）能量算符之和。 ? ? 2 1010x x m???解：線性諧振子的能量本征函數(shù)和能量本征值是 22 22211? , , 0 , 1 , 2 ,2 2 2ndH x E n ndx ? ? ????? ? ? ? ? ?????2 2 2?1 2 1 2, ( )22nE Hn x x V x? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?利用 HF定理計算 ： 取 ???2x?nE H??? ????由 HF定理 12 ()2n V x?????????221 1 1()2 2 2V x x n? ? ???? ? ?????得到 ? ? ? ? ? ? 2* 0n n nx x x x d x x x d x? ? ?? ? ???利用波函數(shù) 的宇稱性得到： ? ?n x? ? ? ? ? ? ?1nnnxx??? ? ?對于線性諧振子基態(tài)而言 2221124 2x x? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 2 1 0 2 2 。 xxp? ??? ? ? ?? ?22 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ? ? ?212x a a a a a a a aa a a a? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ?2 2 2 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 122? ? ? ?22 2 2 2