【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 下 ? ?x? ? ? 24 s i n c o sxxxaaa??? ?4 1 2s i n 1 c o s2xxaaa?????? ????2 2 2s i n s i n c o sx x xa a aaa? ? ???2 1 3s i n s i n s i nx x xa a aaa? ? ???? ? ?????1 1 3s i n s i nxxaaaa????解： 一個(gè)算符 F在態(tài) 中可能的測(cè)量值，即為將 用 F的本征態(tài)展開時(shí)，各本征態(tài)相應(yīng)的本征值。相應(yīng)的概率即為展開式中本征態(tài)前面的系數(shù)的模的平方。 ? ?1 2 2 3si n si n2xxa a a a??????????? ? ? ?1312 xx????????其中， 為無(wú)限深勢(shì)阱中粒子能量的本征函數(shù)。因此， 2 s i nnnxaa?? ??? ???? 是 和 兩態(tài)的疊加，能量的可能測(cè)量值為 ? ?x? 1? 2?221 22E ma?? 223 292E ma??或 測(cè)量值為 和 的幾率各為 。 123E1E例 4. 已知?dú)湓犹幱谟扇缦虏ê瘮?shù)描述的狀態(tài) 其中 為歸一化徑向波函數(shù)（量子數(shù) ）。 21R 2, 1nl??（ 1）試寫出電子自旋向上的幾率； （ 2）試寫出電子在 方向上的立體角元 中被測(cè)到的幾率； ? ?,?? ?d（ 3）試驗(yàn)證該態(tài)均不是軌道角動(dòng)量 z分量 、自旋 z分量 的本征態(tài)，但是總角動(dòng)量的 z分量 的本征態(tài)； zL zSzJ（ 4）試求該態(tài)下 、 的平均值； zL zS（ 5）試求該態(tài)下的電流密度以及總礠矩的 z分量 的平均值。 zM? ? ? ?? ?102111,2,YRrY???????? ?????解： 先求題給態(tài)的歸一化系數(shù)，由于 的歸一化， ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 1 1, , , ,R r Y Y? ? ? ?故將題給態(tài)歸一化為 （ 2）電子在 方向上的立體角元 中被測(cè)到的幾率為 ? ?,?? ?d? ? ? ? ? ?2*3 11 2 1 3c r c r d r c c??? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0122 1 1 11,32,3R r YR r Y??????????????? ???? ?????（ 1）電子自旋向上的幾率為 。 ? ? ? ?31113d r r r??? ??? ? ? ?? ?21 0 1 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 1 1 , 1 1 , 112331134r d r r r d Y Y Y Y dY Y Y Y Y Y d d? ? ? ????? ? ?? ? ???????????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 11 1 3 2 2 3c o s , s i n3 3 4 3 3 8 iR r Y R r R r Y R r e ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 2 1 11 1 12212 ,33 zzR r Y Rs rY s?? ? ? ??? ???或 （ 3）將 、 分別作用到態(tài) 上，有 zL zS ?（ 1） ? ? ? ? ? ?? ? ? ?12 1 1 1 2 1 12 102 ,23 ,3z zL R r sY R r Y? ? ? ?? ??????? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 0 2 1 11 1 12212 ,33 zzR r Y Rs rY s?? ? ? ??? ???? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0122 1 1 11,32,3R r YR r Y??????????????? ???? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11222 1 1 0 2 1 1 12 1 1 02 1 1 11 1 1 2,2 3 2 31,1 32 2,3zzzS R r Y R r YRsrsrYRY? ? ? ? ???????????????????上式意味著 是總角動(dòng)量的 z分量 的本征態(tài)（本征值為 ） ?zJ 2（ 2） ? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 02 1 1 11,113222,3z z zR r YJ L SR r Y??? ? ? ???????? ? ? ?????? 、 均不為零，且與 不是同一個(gè)態(tài)，可見 不是軌道角動(dòng)量 z分量 、自旋 z分量 的本征態(tài)，然而由上面兩式結(jié)果得 ?zL ?zS ? ? zLzS? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?11222 1 1 0 2 1 1 12 1 1 02 1 1 11 1 1 2,2 3 2 31,1 32 2,3zzzS R r Y R r YRsrsrYRY? ? ? ? ???????????????????? ? ? ? ? ?? ? ? ?12 1 1 1 2 1 12 102 ,23 ,3z zL R r sY R r Y? ? ? ?? ??????? ? ????可見 這與 的本征值為 一致 。 ?21??zz SL zzz SLJ ?? ?21? ? ? ?3 23zzL d r r L r??????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 02 1 1 12 1 1 110,?0 32?,0 2, 33zzzR r YLLR r YLR r Y??????????????? ???????? ????? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 1 1 0 2 1 1 02 1 1 1 2 1 1 111,1011 330122 22,33zR r Y R r YSR r Y R r Y? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?（ 4）由上面（ 1）、（ 2）兩式，并注意歸一化系數(shù)得 ? ? ? ?31136zzS d r r S r???? ? ??電流密度為繞 z軸的環(huán)電流?？偞啪氐?z分量 的平均值為 zM式中 為 Bohr磁子。 B?2222 1 12 3 6 6 3z z z z zBe e eM L S L Se e e? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????從而題給態(tài)下的電流密度為 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 2 2 222 1 1 1 1 1..21. . 02 s in12s in 3eJ r r c cieer r r r c c eireR r Y Y er?????? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ????? ? ?????? ? ? ? ? ? ????（ 5）根據(jù)帶 自旋粒子的薛定諤方程（也即 Pauli方程），相應(yīng)于波函數(shù) 的電子幾率流密度為 ?21 ?? ? ? ? ..2 r r c ci ??? ??????? ? ? ? ?? ?2*ln2r rJir? ???????????11s inre e er r r??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 0 2 1 2 2 1 1 1 2 11 1 3 2 2 3c o s , s i n3 3 4 3 3 8 iR r Y R r R r Y R r e ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?例 5. 質(zhì)量為 m 的粒子，在阱寬為 0t?的非對(duì)稱一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，當(dāng) a時(shí)，粒子處于狀態(tài) 1 2 31 1 1( , 0 ) ( ) ( ) ( )2 4 4x x x x? ? ? ?? ? ?其中， ()n x?為粒子的第 n 個(gè)能量本征態(tài)。 （ 1）求 t = 0 時(shí)能量的取值概率及平均值； （ 2）求 t 0 任意時(shí)刻的波函數(shù) ； ( , )xt?（ 3）求 t 0 時(shí)能量的取值概率及平均值。 解：非對(duì)稱一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的本征解為 22 22 ( 1 , 2 , 3 , )2nE n na????2 s innn xaa?? ??? ????(阱內(nèi) ) (1) 首先將 ( ,0 )x? 歸一化，由 2 2 221 1 1 12 4 4 c??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???可知?dú)w一化常數(shù)為 83c?于是歸一化后的波函數(shù)為 1 2 32 1 1( , 0 ) ( ) ( ) ( )3 6 6x x x x? ? ? ?? ? ?能量的取值概率為 能量取其它值的概率皆為零。 1 2 32 1 1( , 0 ) 。 ( , 0 ) 。 ( , 0 )3 6 6W E W E W E? ? ?t=0 時(shí)能量的平均值為 31 2 312 2 2 22 2 2222 1 1( , 0)3 6 62 1 1 171 2 32 3 6 6 12nnnE E W E E E Eaa?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??????(2) 因?yàn)楣茴D算符不顯含時(shí)間，故 t 0 時(shí)的波函數(shù)為 1 1 2 23321( , ) ( ) e x p ( ) e x p361( ) e x p6iix t x E t x E tix E t? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????????(3) 由于哈密頓量是守恒量，而守恒量的的取值概率與平均值皆不隨時(shí)間改變， 換句話說(shuō)，只要計(jì)算出 t=0 時(shí)能量的取值概率及平均值，就知道了 t 0 時(shí)能量的取值概率及平均值。 所以 t 0 時(shí)能量的取值概率及平均值與 t = 0 時(shí)相同。 ? ? ２＝ － ２ + Ｃ ， ２ １ ＋ Ｃ 　2103 0 4 3 00 0 2CC?? ? ? ?????? ? ? ? ?????2ＣＣ =(C2 )(2) 用微擾理論求能量至二級(jí)修正 得到： ? ?d e t 0HI???解 ： (1) H的本征值是方程 的根 (1) 求 H的精確本征值； (2) 用微擾理論求能量至二級(jí)修正。 這里 是一個(gè)實(shí)數(shù)， 。 1CC例 6. 考慮一個(gè)三維狀態(tài)空間問題，在取定的一組正交基下哈密頓算符為 0 +H???