原子物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)(已修改)
2025-06-24 18:18 本頁(yè)面
【正文】 第三章 量子力學(xué)基礎(chǔ) ? 167。 薛定諤方程 德布羅意引入了和粒子相聯(lián)系的波 。 粒子的運(yùn)動(dòng)用波函數(shù)ψ=ψ( rt)來(lái)描述 ， 而粒子在時(shí)刻 t在各處的概率密度為 ｜ ψ ｜ 2 。但是 ， 怎樣確定在給定條件 (給定一勢(shì)場(chǎng) )下的波函數(shù)呢 ? 式 ()稱作薛定諤方程 量子力學(xué)中的薛定諤方程 ， 相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)定律 ， 是不能從什么更基本的原理中推出來(lái)的 。 它的正確與否 ， 只能由科學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn) 。 實(shí)際上 ， 薛定諤方程是量子力學(xué)的一個(gè)基本原理 。 我們可以從不同側(cè)面發(fā)現(xiàn)薛定諤方程與經(jīng)典力學(xué)概念之間的聯(lián)系 。 從形式上看，如在經(jīng)典關(guān)系式 ()中作如下變換： 然后作用于波函數(shù) ψ ， 就得到薛定諤方程 下面研究定態(tài)薛定諤方程 在勢(shì)能 V不顯含時(shí)間的問(wèn)題中 ， 薛定諤方程可以用一種分離變數(shù)的方法求其特解 ， 代入式 ()，并把坐標(biāo)函數(shù)和時(shí)間函數(shù)分列于等號(hào)兩邊： 令這常數(shù)為 E，有 于是波函數(shù)ψ (r,t)可以寫成 與自由粒子的波函數(shù)比較 ， 可知上式中的常數(shù) E就是能量 ，具有這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱為 定態(tài) .在定態(tài)中幾率密度 ｜ ψ( r,t)｜ 2=｜ ψ( r)｜ 2與時(shí)間無(wú)關(guān) 。 另一方面 ， 式()右邊也等于 E， 故有 這是波函數(shù)中與坐標(biāo)有關(guān)的部分 ψ( r)所滿足的方程 ， 此方程稱作定態(tài)薛定諤方程 ]2[ 22Vm???? )()( rEr ?? ?例 試由自由粒子的平面波方程給出建立薛定諤方程的一種方法 （ 1） 對(duì)（ 1） x,y,z取二階偏微商得到 等式相邊相加，即有 為拉普拉斯算符 把 (1)對(duì) t取一階偏微商 如果自由粒子的速度較光速小得多 ， 它的能量公式是p2/2m=E， 兩邊乘以 ψ ， 即得 （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 得到一個(gè)自由粒子的薛定諤方程。 把 (3)和 (4)代入 (5) 對(duì)于一個(gè)處在力場(chǎng)中的非自由粒子，它的總能量等于動(dòng)能加勢(shì)能 兩邊乘以 ψ 自由粒子的薛定諤方程可以按此式推廣成 （ 6） （ 7） （ 8） （ 9） 薛定諤方程是非相對(duì)論微觀粒子的基本方程 量子力學(xué)基本假設(shè) 地位同經(jīng)典物理的牛頓定律 薛定諤 Erwin Schrodinger 奧地利人 18871961 創(chuàng)立量子力學(xué) 獲 1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng) 一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子 一個(gè)粒子在兩個(gè)無(wú)限高勢(shì)壘之間的運(yùn)動(dòng) ， 實(shí)際上與一個(gè)粒子在無(wú)限深勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)屬于同一類問(wèn)題 。 設(shè)勢(shì)阱位于 x=0及 x=a處 。 勢(shì)阱之間 (圖 Ⅰ 區(qū) )， V=0， 勢(shì)阱本身 (圖 Ⅱ ， Ⅲ 區(qū) )，V=∞ ， 求粒子在勢(shì)阱間的運(yùn)動(dòng)情況 。 圖 無(wú)限深勢(shì)阱 在 Ⅱ ， Ⅲ 區(qū) ， 只能有 ψ =上考慮 ， 粒子不能存在于勢(shì)能為無(wú)限大的地區(qū) ， 在 Ⅰ 區(qū) ， () () () 式中 ， A， δ 為待定常數(shù) ， 為確定 A與 δ 之值 ， 利用 ψ 的邊界條件及歸一化條件 。 從物理上考慮 ， 粒子不能透過(guò)勢(shì)阱 ， 要求在阱壁及阱外波函數(shù)為零 ， 即 上式舍去了 n=0和 n為負(fù)值的情況 () 這個(gè)結(jié)果表明，粒子在無(wú)限高勢(shì)壘中的能量是量子化的。又由歸一化條件 由上面的計(jì)算 ， 可以看到量子力學(xué)解題的一些特點(diǎn) 。 在解定態(tài)薛定諤方程的過(guò)程中 ， 根據(jù)邊界條件自然地得出了能量量子化的特性 ()， En是體系的能量本征值 ， 相應(yīng)的波函數(shù) ψn是能量本征函數(shù) 。 在一維無(wú)限高勢(shì)壘間粒子運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)如下： () (1)能量是量子化的 ， 最低能量 E1≠ 0， 這與經(jīng)典力學(xué)大不相同 ， 這是粒子波動(dòng)性的反映 ， 因?yàn)?“ 靜止的波 ” 是不存在的 。 能
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