可降階的高階微分方程(已修改)
2025-05-28 17:48 本頁面
【正文】 167。 可降階的高階微分方程 0),( )( ?? nyyyxF ?本節(jié)考慮 n階微分方程 中的如下的三種特殊類型 : ? y(n)=f(x) ? ),( )1()()( ?? nkn yyxfy ?., )1( ?? kyyy ?及不顯含未知函數(shù)特點(diǎn)： ? ),( )1()( ??? nn yyyfy ?特點(diǎn)： .x右端不顯含自變量)()1 )( xfy n ?解法 : Cdxxfyyy nnn ???? ??? )(1,][ )1()1()( 次積分視nnn CxCxCdxdxxfyn ????? ???? ??? 2211)(次共積分例 1 xxy ?? si n)4(),()2 yxfy ????解法 : ( ) , ( , )d p d py p x y f x pd x d x? ??? ? ?令 則 代入原方程這是關(guān)于 p的一階微分方程 , 若能求出 211 ),(),( cdxcxycxp ????? ?則降低了方程的階數(shù) 例 2 求方程 xy”+y’=1通解 。 解： y’=P(x)， xp’+p=1 , ln(1p)=lnx+lnC1 = p=1 C1/x 通解： y =xC1lnx+C2 2 1. 2 ( ) 0 ( 0 ) 1 ( 0 )2y x y y y?? ? ?? ? ? ? ?求方程 滿足 ， 的特解。()y p x? ?解：設(shè)Py ????則02 2 ???? xPP方程變?yōu)閏xyP ???? 21212 ?? xcxxdxxy ??????
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