隨機過程衍生產(chǎn)品的定價偏微分方程pde(已修改)
2025-08-31 15:20 本頁面
【正文】 第十章 衍生產(chǎn)品的定價 偏微分方程 (PDE) 第一節(jié) 無風險組合與偏微分方程 第二節(jié) 衍生產(chǎn)品期權的定價 第一節(jié) 無風險組合與偏微分方程 一、無風險組合 衍生產(chǎn)品是以其它證券為基礎簽訂的合同，此合同有一定的期限，用 T來表示到期日， 則衍生工具的價格 只取決于基礎證券的價值 和時間 T，即有 TFtS()TTF F S T? ，即在到期日 , 能確切的知道函數(shù) 的形式 ()TF S T，首頁 如果知道基礎證券的價值的運動規(guī)律 ， 那么我們就可以用 Ito定理來確定衍生產(chǎn)品的價格的變化 。 這意味 和 都與基礎證券的不確定性，即擾動項 有關，則這就使得在連續(xù)時間下構造無風險組合成為可能。 其中 分別是購買的衍生工具和基礎證券的數(shù)量，其代表組合的權重。 當其為常數(shù)時 tdStdFtdS tdFtdW假定將 tP 元投資于 )( tSF t ， 和 tS 的組合1 , 2()t t tP F S t S????12,??12t t tdP dF dS????則有 具體方法 首頁 假定基礎資產(chǎn)遵循隨機方程模型 用 Ito定理得到衍生資產(chǎn)價格函數(shù)的偏微分方程 首先，由市場參與者來決定組合的權重 再連同 和 一起代入 12,??12t t tdP dF dS????則有 ( , ) ( , )t t t tdS a S t dt S t dW???212t s t s s t t s t td F F a F F d t F d W????? ? ? ?????tdS tdF若取 1 1? ? 2 sF? ??212()t t ss tdP F F dt???上式?jīng)]有擾動項， 完全可預見，在任意時刻都是一個確定的增量，這也就意味著組合無風險。 tdP表明 首頁 由于無風險 ， 為了避免套利 ， 在相同的時間間隔 里 ，增量 一定等于無風險投資的收益 。 假定無風險收益為常數(shù) r，則 以不支付紅利的情況為例，則 tdP當 不支付紅利時，預期的資本收益一定等于 tS trPdtdt當 每單位時間支付紅利 時，預期的資本收益一定等于 tS?trP dt dt??212t t ss tr P dt F dt F dt???即 212t t s s trP F F ???t s tP F F S??又 故 212t s t t s srS F F F rF?? ? ?偏微分方程 首頁 由于以 S 作為基礎產(chǎn)品的衍生產(chǎn)品有許多種，因而該方程就有許多不同解。要想解出某種特定的衍生產(chǎn)品，必須用到其邊界條件。即一旦給出 S 和 t 的邊界值，則衍生產(chǎn)品的價值也就隨之確定。 ? ? ? ?,TTF S T G S T?這里 )( ?G 是一個關于 tS ， T 的已知函數(shù)。邊界條件 衍生產(chǎn)品的到期日是 T，基礎證券的價格與衍生證券的價格之間的關系在到期日是可明確確定的，即在到期日衍生產(chǎn)品的價格可由下式給出： 又因為 則稱此式為偏微分方程的邊界條件 首頁 如 歐式看漲期權 ，若執(zhí)行價格為 K，則邊界條件為 即表示：若到期時股票價格低于執(zhí)行價格，即 ，則此看漲期權就不被執(zhí)行，期權就是無價值的。否則期權價值等于股票價格與執(zhí)行價格之差。 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T S K??0TSK??當 時 tT?同樣，對歐式看跌期權 ，則邊界條件為 ? ? ? ?, m a x , 0TTF S T K S?? 當 時 tT?首頁 二、偏微分方程的 一般形式 形如 邊界條件為 0 1 2 3 0s t ssa F a SF a F a F? ? ? ?? ? ? ?,TTF S T G S T?即為衍生產(chǎn)品的 偏微分方程的一般形式。 說明 1 為得出衍生工具的無套利價格，需構造無風險組合，由此方法導出偏微分方程。另外，邊界條件和偏微分方程都受相關衍生產(chǎn)品的影響。 其中，一般變量為 S， G（）是一個已知函數(shù)。 首頁
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