隨機(jī)過程衍生產(chǎn)品的定價(jià)偏微分方程pde-文庫(kù)吧資料
2024-08-28 15:20本頁(yè)面
【正文】 0?n ，事件 }{ n?? 由 nYY ,0 ? 決定，意即只從 nYY ,0 ? 的知識(shí)判別 n?? 與否，也即 ),( 0}{}{ nnn YY ??? ? ?? ??則稱 ? 關(guān)于 }{ nY 為停時(shí)，簡(jiǎn)稱 為停時(shí) ?首頁(yè) 停時(shí)的直觀背景解釋： 設(shè)想賭徒在前 n+1次賭博的賭本為 ，那么停時(shí)就是這個(gè)賭徒?jīng)Q定何時(shí)停止賭博的策略。 性質(zhì) 3 為鞅的充分必要條件是， 既為上鞅也為下鞅。 證 性質(zhì) 2 即 證 }{ nc 其中 cc n ?),|( 01 nn YYcE ?? ),|( 0 nYYcE ?? ncc ??若 }{ nX 為鞅，則對(duì)任意 0?n ，有0EXEX n ?nX 的數(shù)學(xué)期望 nEX 是一常數(shù) 0EX)],|([ 011 nnn YYXEEEX ??? ? nEX?依次遞推，可得 01 EXEXEX nn ??? ? ?首頁(yè) 例 1 令 且對(duì)任意 有 證 由條件期望的性質(zhì)可得 設(shè) }{ nY （ ?,2,1,0?n ）為獨(dú)立隨機(jī)序列，00 ?Yknkn YX ???0?? ),|( 01 nn YYXE ? ],|)[( 01 nnn YYYXE ???),|( 0 nn YYXE ?? ),|( 01 nn YYYE ???1??? nn EYX nX?0?nEY0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅??? ??||||0knkn YEXE且 所以 }{nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅首頁(yè) 例 2 令 證 （ 1） 設(shè) }{ nY 是任一隨機(jī)序列，X 為滿足 ??|| XE 的任一隨機(jī)變量),|( 0 nn YYXEX ?? 0?n則 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅|),|(||| 0 nn YYXEEXE ??)],||(|[ 0 nYYXEE ?? ??? || XE（ 2） ),|( 01 nn YYXE ??],|),|([ 010 nn YYYYXEE ?? ??),|( 0 nYYXE ?? nX?所以 }{ nX 關(guān)于 }{ nY 是鞅。設(shè)當(dāng) knm ?? （ 1?k ）時(shí) （ 1 ）成立，則有 ),|( 01 nkn YYXE ???],|),|([ 001 nknkn YYYYXEE ?? ????),|( 0 nkn YYXE ???nX?即當(dāng) 1??? knm 時(shí) （ 1 ）成立。 而鞅 則表示這種賭博使第 n+1年的平均賭本仍為第 n年的賭本，這種賭博稱為公平賭博。 對(duì)看跌期權(quán)的購(gòu)買者而言，股票價(jià)格必須下跌 。求歐式看漲期權(quán) 和看跌期權(quán)的價(jià)值 。 1()Nd? 2()Nd?首頁(yè) 三、累積正態(tài)分布函數(shù) 利用定價(jià)公式，需要計(jì)算累積正態(tài)分布函數(shù) ()Nx下面給出多項(xiàng)式的近似計(jì)算方法： 231 2 31 ( ) ( ) 0()1 ( ) 0N x a M a M a M xNxN x x?? ? ? ? ??? ? ? ??其中 11M x?? ?0. 33 26 7? ? 1 0 .4 3 6 1 8 3 6a ?2 0 .1 2 0 1 6 7 6a ?? 3 ?221()2xN x e??? ?首頁(yè) 按此公式可以求出累積正態(tài)分布函數(shù) 的值，并且通?？梢跃_到小數(shù)點(diǎn)四位數(shù)，其誤差也總是在。 [ m a x( , 0) ]TE S K?其中 表示遠(yuǎn)期合約到期時(shí)間 T時(shí)的股票價(jià)格， K表示交割價(jià)格。 說明 ()r T tF S K e ????因此，可用偏微分方程來求出衍生產(chǎn)品的價(jià)格。 解 ()r T tF S K e ????（ K為交割價(jià)格） 因?yàn)? ()r T tF rKedt??? ??1FdS? ?22 0FS? ??2212s t t ssrSF F S F???則有 ()r T trS rKe ???? rF?即滿足布萊克 斯科爾斯方程。 首頁(yè) 三、二階偏微分方程的類型 對(duì)二階偏微分方程： 0 1 2 3 4 5 0t s s s tt s ta a F a F a F a F a F? ? ? ? ? ?若 25 3 440a a a??則稱其為橢圓型偏
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