有限差分法求解偏微分方程-文庫吧資料
2025-06-25 04:08本頁面
【正文】 j+ui,j+2+2ui,j2ui+1,j2ui,j+1h2+O(h2)ymym（20）n 向后差分?2u=uxx+uyy=ui,j2ui1,j+ui2,jh2+ui,j2ui,j1+ui,j2h2 =ui2,j+ui,j2+2ui,j2ui1,j2ui,j1h2+Oh2x1xi2xi1xixi+1xi+2xixnxnx1y1yj2yj1yjyjy1yj+1yj+2 ui2,j2ui,jui,j+2ui,j+1圖2 向前差分（左）和向后差分（右）2ui1,j2ui,j1ui,j22ui,j+12ui,j2ui+1,jui+2,j4ui,jui,j1ui+1,jui1,j 圖3 中心差分、向前差分和向后差分的拉普拉斯算子表示（21）利用中心差分公式（18），由于式（18）在點(diǎn)x,y=(xi,yi)處具有二階精度（Oh2），所以式（18）可近似改寫成下式：?2ui,j≈ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,jh2根據(jù)橢圓方程的具體形式可以將其分為以下三種形式：n 拉普拉斯（Laplace）方程：?2u=0n 泊松（Poison）方程：?2u=g(x,y)n 赫耳墨次（Helmholtz）方程：?2u+fx,yu=g(x,y)根據(jù)式（21），可建立三種不同形式橢圓方程的代數(shù)方程如下：n 拉普拉斯方程：?2u=00=?2ui,j≈ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,jh2化簡后得到拉普拉斯方程的計(jì)算公式：（22）ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,j=0（23）n 泊松方程：?2u=gx,yui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j14ui,jh2?gi,j=0n 赫耳墨次方程：?2u+fx,yu=g(x,y)（24）ui+1,j+ui1,j+ui,j+1+ui,j1+(h2?fi,j4)ui,jh2?gi,j=0 建立有限差分方程組根據(jù)式（22）~（24）建立方程組，但是需要知道對應(yīng)的邊界條件才能使方程組存在定解，邊界條件一般分為狄利克雷邊界條件和導(dǎo)數(shù)邊界條件兩種，下面分別給出這兩種邊界條件的有限差分方程組的建立過程：n 狄利克雷邊界條件：?|Γ=φ(x,y)對于狄氏條件而言，給出了邊界上各節(jié)點(diǎn)出的函數(shù)計(jì)算公式，直接代入節(jié)點(diǎn)值(xi,yi)計(jì)算即可，如下所示為矩形區(qū)域的邊界點(diǎn)計(jì)算：u(x1,yj)=u1,j=φ(x1,yj)(1≤j≤m)（左邊界）（25）u(xn,yj)=un,j=φ(xn,yj)(1≤j≤m)（右邊界）u(xj,y1)=uj,1=φ(xj,y1)(1≤j≤n)（下邊界）u(xj,yn)=uj,n=φ(xj,yn)(1≤j≤n)（上邊界）n 導(dǎo)數(shù)邊界條件：?u(x,y)?N=0（26）以右邊界點(diǎn)為例，對于右邊界點(diǎn)x=xn，根據(jù)Neumann條件可得下式：?u(x,y)?N=?u(xn,yj)?x=uxxn,yj=0對于拉普拉斯方程，根據(jù)計(jì)算公式（22），對于邊界上的點(diǎn)(xn,yj)可得：（27）un+1,j+un1,j+un,j+1+un,j14un,j=0（28）顯然，上式中的un+1,j在求解域外，是未知量。假設(shè)求解區(qū)域?yàn)椋篟={x,y:0≤x≤a,0≤y≤b,ba=m/n}，將求解區(qū)域劃分成(n1)(m1)個(gè)網(wǎng)格，其中：a=nh,b=mh，如圖1所示。 微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程ym（18）由于三種類型的微分方程解法類
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1